Hướng dẫn giải, đáp án bài bác 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp) – Chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác.
Bạn đang xem: Bài 2 sgk toán 11 trang 36
Bài 2. Giải những phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.
Nghiệm của phương trình đã mang lại là những nghiệm của nhì phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π với cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với
2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔
⇔
Bài 3. Giải những phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔
Phương trình đã cho tương tự với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.
Các nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng nghiệm của nhị phương trình sau :
và
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình biến 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.
Vậy
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
Quảng cáo
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.
Vậy
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Giải: a) dễ thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã vì thế chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương tự 2tan2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.
Vậy
b) cầm 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã mang đến trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) cầm cố sin2x = 2sinxcosx ;
Quảng cáo
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã mang đến và rút gọn ta được phương trình tương đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0
⇔
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2
⇔
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) cần phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2
⇔
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1
⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).
Bài 6. a. Tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. Tan x + tung (x + π/4) = 1
Ôn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác
Chỉ phải thực hiên nhị phép biến hóa tương đương: chuyển số hạng không đựng x lịch sự vế nên và đổi dấu; phân tách hai vế phương trình cho một vài khác 0 là ta hoàn toàn có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai so với một hàm con số giác
Đặt hàm con số giác chứa ẩn phụ ta chuyển được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc nhị này. Giả dụ phương trình bậc hai có nghiệm thì cụ giá trị của nghiệm tìm kiếm được trở lại phép để ta sẽ tiến hành một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ cần xét trường phù hợp cả hai thông số a, b phần lớn khác 0 (trường hợp 1 trong hai hệ số đó bằng 0 thì phương trình nên giải là hpuwong trình bậc nhất đối với một hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã hiểu phương pháp giải.
Cách 1: chia hai vế phương trình mang lại
Phương trình này đã biết phương pháp giải.
Chú ý : Để phương trình
Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c gồm nghiệm.
Xem thêm: Đề Thi Cuối Học Kì 2 Lớp 5 Chọn Lọc, Bài Kiểm Tra Cuối Học Kì Ii
Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác
Hệ thống những công thức lượng giác rất đa dạng mẫu mã nên các phương trình lượng giác cũng tương đối đa dạng. Thực hiện thành thạo các phép biến đổi lượng giác các em rất có thể đưa những phương trình nên giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc hai đối với cosx và sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể đem lại dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự phong phú và nhiều chủng loại ấy nên chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa phương thức giải thông qua một số ví dụ điển hình và những em rất có thể nắm vững cách thức giải trải qua nhiều bài xích tập.