phương thức giải hệ phương trình Giải hệ phương trình siêng đề luyện thi Đại học môn Toán Ôn tập môn Toán việc hệ phương trình khả năng giải toán phương trình


Bạn đang xem: Bài tập hệ phương trình ôn thi đại học

*
pdf

bài bác giảng Tin học ứng dụng nâng cao: Giải phương trình với hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bằng


*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc




Xem thêm: Cách Giải Nhanh Bài Tập Xác Suất Của Biến Cố Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tập san THTT 2010Trong các đề thi đh những năm sát đây, ta gặp mặt rất nhiều vấn đề về hệphương tr ình. Nhằm giúp chúng ta ôn thi tốt, bài viết này cửa hàng chúng tôi xin reviews một sốdạng bài và kĩ năng giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng những kĩ năng chuyển đổi đồng nhất đặcbiệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản dễ dàng ( có thể rút theoy hoặc trái lại ) rồi thay vào PT sót lại trong hệ.*Loại đồ vật nhất: trong hệ bao gồm một phương trình hàng đầu với ẩn x hoặc y lúc ấy ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Thường thấy x = 0 không thỏa mãn nhu cầu PT(2) yêu cầu từ (2) ta gồm : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được những nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại máy hai: Một phương trình trong hệ rất có thể đưa về dạng tích của những phương trìnhbậc nhất hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta tất cả x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 thế vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( vị y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại trang bị ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc nhị của một ẩn,ẩn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y thông số x ta gồm D " = 9 x 2 từ đó ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm đặc trưng nhất vào hệ dạng này là phát hiện nay ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến hóa hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân chia cho một biểu thức khác 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không vừa lòng PT(1) đề nghị HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta bao gồm hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này chúng ta đọc hoàn toàn có thể giải dễ dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều khiếu nại : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( vày a ³ 2 ) từ kia ta tất cả hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ các loại này ta chạm mặt nhiều ở nhì dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) cùng với f là hàm đơnđiệu bên trên tập D cùng x, y trực thuộc D .Nhiều khi ta bắt buộc phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tậpmà hàm f solo điệu* loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ tất cả dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta giới hạn x, y ở trong tập D bỏ lên để trên kia hàm f đối chọi điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Từ PT (2) ta bao gồm x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> tất cả f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t cho nên vì vậy hàm số f (t ) đồngbiến bên trên RNên PT (3) Û a = b rứa vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo dấn xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 đề nghị PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( rước ln nhì vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học tập 20111- ln 3 2 trường đoản cú (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ sẽ cho tương đương với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 và = -9 (loại). Cùng với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều khiếu nại x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) có t 2 + t - 2 = 0 với t = log y x .()()æ3öa) với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) với log y x = -2 , ta được x = 2 . Nỗ lực vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường thích hợp này PT (3) vô nghiệm. Thiệt vậy:+ ví như y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học tập 20111221+ nếu như 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã mang lại chỉ tất cả một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ sẽ cho tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Sau đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ bên trên ta thấy x , y, z > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương trường đoản cú ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ kia suy ra hệ bao gồm một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Núm y từ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) tất cả x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta có f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một việc trong Đề thi tuyển chọn sinh Đại học gần nhất mà trường hợp khôngdùng đến luật pháp đạo hàm thì khó hoàn toàn có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t tất cả f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 cần f (t ) luôn luôn đồng biến chuyển trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 với x = không hẳn là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x bên trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa bao gồm g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t đề nghị hàm số f (t ) luôn luôn đồng đổi mới nênx= y Û x = y 2 . Cố kỉnh x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 .yVậy hệ tất cả hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) với ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải những hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + đôi mươi y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền