Toán cấp 2 nhắc lại lý thuyết về hình chữ nhật cùng những dạng toán liên quan với những bài bác tập gồm lời giải. Giúp những em lớp 8 ôn tập tu dưỡng tốt.

Bạn đang xem: Bài tập hình chữ nhật lớp 8

Mục tiêu:

– Giúp học viên nắm được tư tưởng hình chữ nhật , các tính chất của hình chữ nhật, các dấu hiệu nhận thấy một tứ giác là hình chữ nhật.


– Học sinh biết vẽ hình chữ nhật, biết chứng tỏ một tứ giác là hình chữ nhật, biết vận dụng các kiến thức về hình chữ nhật để giải toán.

– Rèn cho học viên kĩ năng suy luận, vận dụng tính chất của hình chữ nhật để minh chứng các đoạn thẳng bởi nhau, các góc bởi nhau, chứng tỏ ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng tuy vậy song.


A. Cầm tắt lý thuyết

*

1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác gồm bốn góc vuông $ displaystyle diamond ABCD$ là hình chữ nhật $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarrayldiamond ABCD\hatA=hatB=hatC=hatDendarray ight.$

– nhận xét: Hình chữ nhật cũng là 1 trong hình bình hành, 1 hình thang cân

2. Tính chất: Hình chữ nhật có tất cả các đặc điểm của hình bình hành và hình thang cân – đặc thù về cạnh: những cạnh đối bằng nhau, song song cùng nhau – đặc thù về góc: bốn góc cân nhau – tính chất về đường chéo: nhì đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

3. Dấu hiệu nhận biết – Tứ giác có tía góc vuông là hình chữ nhật – Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật – Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật – Hình bình hành gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là hình chữ nhật

4. Ứng dụng vào tam giác vuông

*
– trong tam giác vuông, con đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, ta có: $ displaystyle BM=frac12AC$

– trường hợp một tam giác bao gồm đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác chính là tam giác vuông: $ displaystyle BM=frac12ACRightarrow Delta ABC$ vuông.

B. Bài bác tập và các dạng toán

Dạng 1: chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật

Cách giải: Vận dụng những dấu hiệu nhận thấy để chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật

Bài 1: cho tứ giác ABCD tất cả $ displaystyle ACot BDequiv O$. Call E, F, G, H thứu tự là trung điểm của những cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:

a. OE + OF + OG + OH bởi nửa chu vi tứ giác ABCD

b. Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

*

Lời giải a. Ta có

$ displaystyle OE+ extOF+OG+OH=frac ext1 ext2(AB+BC+CD+DA)=frac12P_ABCD$

b. Gồm $ displaystyle left{ eginarrayl extEF//GH\ extEF=Gendarray ight.Rightarrow diamond extEFGH$ là hình bình hành ( lốt hiệu phân biệt ) ngoài ra $ displaystyle left{ eginarraylACot BD\AC// extEFendarray ight.Rightarrow left{ eginarrayl extEFot extBD\ extBD//EHendarray ight.Rightarrow EHot extEFRightarrow diamond extEFGH$ là hình chữ nhật (dhnb)

Bài 2: mang đến tam giác ABC vuông cân nặng tại C. Bên trên cạnh AC, BC đem lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ bỏ điểm phường vẽ PM // BC ( M trực thuộc AB ). Minh chứng tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

*

Lời giải Ta bao gồm $ displaystyle Delta ABC$ vuông cân $ displaystyle Rightarrow hatA=45^0Rightarrow Delta APM$ vuông cân $ displaystyle Rightarrow AP=PM$

Theo giải thiết $ displaystyle AP=CQRightarrow PM=CQ$

Lại gồm $ displaystyle PM//CQRightarrow diamond PMCQ$ là hình bình hành

Mặt không giống $ displaystyle hatC=90^0Rightarrow diamond PMCQ$ là hình chữ nhật (dhnb)

Bài 3: mang lại hình chữ nhật ABCD, E ở trong AD, F trực thuộc AB. Gọi I, K, M, N theo sản phẩm công nghệ tự là trung điểm của EF, DF, BE, BD. Chứng minh rằng IN = KM.

*

Lời giải Ta đi chứng tỏ tứ giác IKMN là hình chữ nhật

+) Theo trả thiết bao gồm : $ displaystyle left{ eginarraylIM//KN(//FB)\IM=KN=frac12FBendarray ight.Rightarrow diamond IMKN$

Là hình bình hành (dhnb)

+) $ displaystyle left{ eginarraylIK//DA\ADot ABendarray ight.Rightarrow left{ eginarraylIKot AB\IM//ABendarray ight.Rightarrow IMot IKRightarrow diamond IKMN$ là hình chữ nhật $ displaystyle Rightarrow IN=KM$

Bài 4: mang đến tam giác ABC vuông trên A, AB Lời giải

a. Tứ giác NEKH tất cả 3 góc vuông buộc phải là hình chữ nhật

b. Ta đi minh chứng $ displaystyle Delta IHA=Delta IHK$ Xét $ displaystyle Delta IHA,Delta IHK:$ IH cạnh tầm thường , $ displaystyle AI=IK=frac12BE$

Cần thêm AH = HK hoặc AH = NE ( vày HK = NE )

$ displaystyle Delta ABH=Delta AEN(ch-gn)Rightarrow AH=NE$

⇒ $ displaystyle AH=HKRightarrow Delta IHA=Delta IHKRightarrow IhatHA=IhatHC$

Dạng 2: Vận dụng đặc điểm của HCN để chứng tỏ qua hệ bằng nhau, tuy vậy song, vuông góc, tính độ dài những đoạn thẳng

Cách giải: Áp dụng các tính chất của hình chữ nhật

– Áp dụng đặc thù đường trung đường trong tam giác vuông

Bài 5: mang lại hình chữ nhật ABCD, AB = 40cm, O là giao điểm của hai tuyến đường chéo. điện thoại tư vấn H là chân con đường vuông góc kẻ trường đoản cú A cho BD. Tính độ nhiều năm đoạn DH, OH, OB.

*

Lời giải Áp dụng định lý pytago $ displaystyle Rightarrow BD=50cm$

$ displaystyle OA=OB=OC=OD=25cm$

$ displaystyle AD^2-DH^2=AH^2=AO^2-HO^2=AO^2-(DO^2-DH)^2$

Hay $ displaystyle eginarrayl30^2-DH^2=25^2-(25-DH)^2Leftrightarrow 30^2-DH^2=25^2-(625-50DH+DH^2)Leftrightarrow 50DH=900\Rightarrow DH=18Rightarrow HO=7CMendarray$

Cách 2:

$ displaystyle S_ABD=frac12AD.AB=600=frac12AH.BD$

⇒ $ displaystyle 600=frac12.50.AHRightarrow AH=24Rightarrow DH=18cm$

Bài 6: cho hình chữ nhật ABCD. Call E là chân đường vuông góc kẻ từ bỏ B mang lại AC. I là trung điểm của AE, M là trung điểm của CD, H là trung điểm của BE.

a. Chứng minh rằng CH // IM

b. Tính góc BIM

*

Lời giải a. Ta tất cả IH là đường trung bình $ displaystyle Delta AEBRightarrow left{ eginarraylIH//AB\IH=frac12ABendarray ight.$

Lại tất cả $ displaystyle left{ eginarraylMN//AB\MN=frac12ABendarray ight.Rightarrow diamond IMCH$ là hình bình hành $ displaystyle Rightarrow CH//IM$

Ta có: $ displaystyle IH//MC,MCot BCRightarrow IHot BC$

Xét $ displaystyle Delta IBC$ có H là trực vai trung phong $ displaystyle Rightarrow left{ eginarraylCHot BI\CH//IMendarray ight.Rightarrow BhatIM=90^0$

Bài 7: cho hình chữ nhật ABCD. Mang điểm p. Tùy ý trên đường chéo cánh BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua P.

a. Chứng minh AM // BD

b. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M bên trên AD, AB. Minh chứng AEMF là hình chữ nhật

c. EF // AC

d. E, F, p. Thẳng hàng

*

Lời giải

a. điện thoại tư vấn O là giao điểm của BD với AC

Ta có OP là mặt đường trung bình của $ displaystyle Delta AMCRightarrow OP//AM$

b. Xét $ displaystyle diamond AEMF$, có $ displaystyle hatE=hatA=hatF=90^0Rightarrow diamond AEMF$ là hình chữ nhật

c. Ta tất cả $ displaystyle hatA_2=hatD_1(slt),hatA_2=hatE_1,hatE_1=hatA_1(dvi)Rightarrow hatE_1=hatA_1Rightarrow extEF //AC$

d. E, F, p thẳng sản phẩm $ displaystyle IE//AC, extIP//ACLeftarrow $ IP là mặt đường trung bình $ displaystyle Delta AMC$

Lại gồm EF // AC $ displaystyle Rightarrow IE//AC$

Theo tiên đề Ơclit thì E, F, p. Thẳng hàng

Bài 8: mang lại tam giác ABC cân nặng tại A. Tự điểm D trên đáy BC kẻ mặt đường vuông góc với BC cắt AB sinh sống E cùng AC sinh hoạt F. Vẽ các hình chữ nhật DBHE cùng CDFK. Hotline I là vai trung phong của hình chữ nhật BDEH, J là vai trung phong của hình chữ nhật CDFK. Chứng minh rằng:

a. AIDJ với AHIJ là các hình chữ nhật

b. A, H, D thẳng hàng với A là trung điểm của HK

*

Lời giải a. $ displaystyle diamond AIDJ$là hình bình hành $ displaystyle Rightarrow left{ eginarraylAI//DJ(hatB_1=hatD_1=hatC_1)\ extAJ//DI( exthatC_ ext1=hatD_2=hatB_1)endarray ight.$ $ displaystyle diamond AH extIJ$là hình bình hành $ displaystyle Rightarrow left{ eginarraylHI//AJ(HD//AC)\ extAJ//HI(=ID)endarray ight.$

b. $ displaystyle A,H,K$thẳng mặt hàng $ displaystyle Rightarrow diamond extAIJK$là HBH $ displaystyle Rightarrow left{ eginarraylAI//KJ(AI//DJ)\AI=KJ(AI=DJ)endarray ight.$

Vậy qua A tất cả HA // IJ, KA // IJ cần A, H, K thẳng hàng.

Dạng 3: sử dụng định lý thuận và đảo của con đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền trong tam giác vuông

Cách giải: thực hiện định lý về đặc điểm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng tỏ các hình đều nhau hoặc minh chứng tam giác vuông

Bài 9: mang đến tam giác ABC, những đường cao BD cùng CE. Gọi M, N là chân những đường vuông góc kẻ từ B, C cho DE. điện thoại tư vấn I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a. $ displaystyle IKot ED$

b. EM = DN

*

Lời giải

a. Ta có $ displaystyle EK=DK=frac12BCRightarrow left{ eginarraylDelta EKD(KE=KD)\IE=IDendarray ight.$

$ displaystyle Rightarrow IKot ED(dpcm)$

b. $ displaystyle left{ eginarraylKB=KC(Kin BC)\KI//BM//NCendarray ight.Rightarrow KI$là đường trung bình của hình thang MBNC $ displaystyle Rightarrow left{ eginarraylIM=IN\IE=IDendarray ight.Rightarrow ME=DN$

Bài 10: mang lại tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. điện thoại tư vấn I, K theo máy tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:

a. $ displaystyle IhatHK=90^0$

b. Chu vi tam giác IHK bởi nửa chu vi tam giác ABC

*

Lời giải

a. Ta có: $ displaystyle Delta IAH,Delta KAH$cân tại I cùng K $ displaystyle Rightarrow IhatAH=IhatHA,HhatAK=AhatHK$

$ displaystyle Rightarrow IhatHA+AhatHK=90^0Rightarrow IhatHK=90^0$

b. Ta bao gồm $ displaystyle IH=frac12AB,HK=frac12BC,IK=frac12BCRightarrow P_IHK=frac12P_ABC(dpcm)$

Bài 11: mang lại tam giác ABC bao gồm đường cao AI. Tự A kẻ tia Ax vuông góc cùng với AC, tự B kẻ tia By tuy vậy song với AC. Hotline M là giao điểm của hai tia Ax và By. Nối M với trung điểm p. Của AB, mặt đường MP giảm AC trên Q với BQ giảm AI tại H.

a. Tứ giác AMBQ là hình gì

b. Chứng tỏ rằng CH vuông góc cùng với AB

c. Chứng tỏ tam giác PIQ cân

*

Lời giải

a. Ta bao gồm tứ giác AMBQ là hình chữ nhật ( nhì đường chéo cánh cắt nhau trên trung điểm của mỗi con đường và đều bằng nhau )

b. Ta bao gồm H là trực trọng điểm của $ displaystyle Delta ABCRightarrow CHot AB$

c. Tất cả $ displaystyle PI=PQ=frac12ABRightarrow Delta PIQ$ cân nặng tại P.

Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Cách giải: vận dụng định nghĩa, các đặc thù và lốt hiệu phân biệt của hình chữ nhật

Bài 12: mang lại tứ giác ABCD. Call E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm đk của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

*

Lời giải

Ta có tứ giác EFGH là hình bình hành

Để EFGH đổi mới hình chữ nhật thì :

$ displaystyle Rightarrow H extEF=9 ext0^ ext0Rightarrow HEot extEFRightarrow extACot extBD$

Vậy đk là nhị đường chéo cánh của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

Bài 13: mang đến tam giác ABC. Call O là 1 trong những điểm thuộc miền vào của tứ giác. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB

a. Chứng tỏ tứ giác MNPQ là hình bình hành

b. Xác định vị trí của điểm O nhằm tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

*

Lời giải

a. Ta bao gồm MNPQ là hình bình hành ( lốt hiệu phân biệt )

b. Để MNPQ thay đổi hình bình hành thì O nằm trên phố cao bắt đầu từ đỉnh A của $ displaystyle Delta ABC$

*

Bài 14: cho hình thang cân nặng ABCD ( AB // CD, AB Lời giải

a. Ta bao gồm $ displaystyle MN//AB,MP//AB,PQ//AB,PN//ABRightarrow M,N,P,Q$ thẳng hàng nhau.

Xem thêm: Trong Phép Chia Hết Muốn Tìm Số Chia Ta Làm Sao, Muốn Tìm Số Chia Chưa Biết Ta Làm Thế Nào

b. Hình thang ABPN có hai đường chéo bằng nhau đề nghị là hình thang cân

c. Để ABPN là hình chữ nhật thì NP = AB tuyệt CD = 3AB

*

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: cho tam giác ABC, con đường cao AH. điện thoại tư vấn I là trung điểm của AC. Rước E là vấn đề đối xứng với H qua I. Hotline M, N theo lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường trực tiếp AM, AN cắt HE tại G và K.

a. Minh chứng tứ giác AHCE là hình chữ nhật

b. Chứng tỏ HG = GK = KE

*
Hướng dẫn

a. Chứng tỏ tứ giác AHCE là hình bình hành, tất cả $ displaystyle AHC=90^0Rightarrow diamond AHCE$ là hình chữ nhật

b. Chứng tỏ G, K lần lượt là những trọng tâm của tam giác AHC, AEC và sử dụng đặc điểm 2 đường chéo của HCN

Bài 2: mang lại tam giác ABC, những đường cao AD, BE, CF giảm nhau tại H, điện thoại tư vấn I, K, R theo sản phẩm tự là trung điểm của HA, HB, HC. điện thoại tư vấn M, N, p theo đồ vật tự là trung điểm của BC, AC, AB. Chứng tỏ rằng:

a. Tứ giác MNIK, PNRK là các hình chữ nhật

b. P, N, R, K, M, I cùng thuộc 1 đường tròn

c. D, E, F cũng thuộc con đường tròn trên

*

Lời giải

Ta có: $ displaystyle OD=frac12IM,OE=frac12KN, extOF=frac ext1 ext2PR$

Bài 3: cho tam giác ABC vuông trên A, M thuộc BC. Hotline D cùng E là chân đường vuông góc kẻ trường đoản cú M mang lại AB cùng AC

a. Định dạng tứ giác ADME

b. điện thoại tư vấn I là trung điểm của DE. Chứng minh A, I, M trực tiếp hàng

c. Điểm M nằm ở đâu trên BC thì DE nhỏ tuổi nhất. Tính DE trong trường hợp đó biết AB = 15cm, AC =20cm

*

Lời giải

a. Tứ giác ADME gồm 3 góc vuông buộc phải là hình chữ nhật

c. DE nhỏ nhất khi AM nhỏ dại nhất ( DE = AM ). AM nhỏ dại nhất khi còn chỉ khi AM = AH lúc M trùng H

Xét $ displaystyle Delta ABC$ vuông trên A

$ displaystyle Rightarrow BC=25cm(pytago)Rightarrow S_ABC=frac12AH.BC=frac12AB.ACRightarrow AH=fracAB.ACBC=frac15.2025=12(cm)$