Cùng với chủ thể tổng với hiệu của nhì vectơ, đa số nội dung về tích của vectơ với cùng một số cũng là phần con kiến thức đặc biệt quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Vào nội dung nội dung bài viết dưới đây, hãy thuộc inthepasttoys.net kiếm tìm hiểu cụ thể về lý thuyết, những dạng toán tương tự như một số bài tập điển hình về tích của vectơ với một số, cùng tò mò nhé!. 


Lý thuyết tích của vectơ với cùng 1 số

Định nghĩa tích của vectơ với một số

Cho số (k e0) và vectơ (overrightarrowa e0). Tích của vectơ (overrightarrowa) với số (k) sẽ là 1 trong vectơ, được kí hiệu là (koverrightarrowa), thuộc hướng cùng với (overrightarrowa) nếu như (k>0), ngược hướng với (overrightarrowa) trường hợp (k


Ta quy cầu (0overrightarrowa=overrightarrow0,koverrightarrow0=overrightarrow0)

Tính hóa học tích của vectơ với 1 số

Với nhì vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) bất kì, với đa số số (h) và (k), ta có: 

(kleft ( overrightarrowa+overrightarrowb ight )=koverrightarrowa+koverrightarrowb)(left ( h+k ight )overrightarrowa=hoverrightarrowa+koverrightarrowa)(hleft ( koverrightarrowa ight )=left (hk ight )overrightarrowa)(1.overrightarrowa=overrightarrowa)(left (-1 ight ).overrightarrowa=-overrightarrowa)

Trung điểm của đoạn trực tiếp và giữa trung tâm của tam giác

Nếu (I) là trung điểm của đoạn thẳng của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta gồm (overrightarrowMA+overrightarrowMB=2overrightarrowMI)Nếu G là trung tâm của tam giác ABC thì với tất cả điểm M ta gồm (overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=3overrightarrowMG).

Bạn đang xem: Bài tập về tích của vectơ với một số

Chứng minh: 

(overrightarrowMA+overrightarrowMB=left (overrightarrowMI+overrightarrowIA ight )+left (overrightarrowMI+overrightarrowIB ight )=overrightarrowMI+overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB=2overrightarrowMI) (do (overrightarrowIA+overrightarrowIB=overrightarrow0))(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=left (overrightarrowMG+overrightarrowGA ight )+left (overrightarrowMG+overrightarrowGB ight )+left ( overrightarrowMG+overrightarrowGC ight )=3overrightarrowMG+left (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC ight )=3overrightarrowMG) (do (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0))

Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?

Điều kiện để hai vectơ (overrightarrowa) và (overrightarrowb) thuộc phương (left (overrightarrowb eoverrightarrow0 ight )) khi và chỉ khi có số (k) thỏa (overrightarrowa=koverrightarrowb).Điều buộc phải và đủ để (A,B,C) thẳng sản phẩm là gồm số (k) làm thế nào cho (overrightarrowAB=koverrightarrowAC)

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 

Cho hai vectơ (overrightarrowa) với (overrightarrowb) không thuộc phương cùng vectơ (overrightarrowx) tùy ý. Lúc ấy tồn tại nhị số thực (h,k) làm sao cho (overrightarrowx=hoverrightarrowa+koverrightarrowb)

Chúng minh: 

Lấy vectơ (overrightarrowOC=overrightarrowx). Rước (O) là điểm đầu cùng vẽ nhì vectơ (overrightarrowOA=overrightarrowa) và (overrightarrowOB=overrightarrowb). Từ bỏ C kẻ những đường thẳng tuy vậy song với các đường trực tiếp OA và OB.

*

Ta có: (overrightarrowOC=overrightarrowOA’+overrightarrowOB’).

Vì (overrightarrowOA’) cùng (overrightarrowOA) cùng phương yêu cầu tồn tại số h thế nào cho (overrightarrowOA’=h.overrightarrowOA).

(overrightarrowOB’) cùng (overrightarrowOB) cùng phương bắt buộc tồn tại số k thế nào cho (overrightarrowOB’=k.overrightarrowOB).

Vậy (overrightarrowOC=h.overrightarrowOA+k.overrightarrowOB)

Hay là (overrightarrowx=h.overrightarrowa+k.overrightarrowb). 

Các dạng toán điển hình nổi bật về tích của vectơ với cùng 1 số 

Dạng 1: Dựng và tính độ nhiều năm vectơ cất tích một vectơ với một số

Phương pháp giải: 

Sử dụng có mang tích của vectơ với một vài và các quy tắc về phép toán vectơ nhằm dựng vectơ chứa tích của vectơ với cùng 1 số, phối hợp các định lý pitago cùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ lâu năm của chúng.

Ví dụ 1: Cho tam giác các (ABC) cạnh (a), điểm (M) là trung điểm của (BC). Dựng các vectơ sau và tính độ nhiều năm của chúng.

(frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA)(overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC)(frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC)(frac34overrightarrowMA+frac52overrightarrowMB)

Cách giải: 

*

Do (frac12overrightarrowCB=overrightarrowCM) suy ra theo quy tắc ba điểm ta có: 

(frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA=overrightarrowCM+overrightarrowMA=overrightarrowCA)

Vậy (left |frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA ight |=left |overrightarrowCA ight |=a)

2. Vị (frac12overrightarrowBC=overrightarrowBM) ne theo nguyên tắc trừ ta gồm (overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC=overrightarrowBA-overrightarrowBM=overrightarrowMA)

Theo định lý Pitago ta có: 

(MA=sqrtAB^2-BM^2=sqrta^2-left (fraca2 ight )^2=fracasqrt32)

Vậy (left |overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC ight |=overrightarrowMA=fracasqrt32)

3. Hotline N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và p. Là đỉnh của hình bình hành AQPN.

Khi đó ta bao gồm (frac12overrightarrowAB=overrightarrowAN,2overrightarrowAC=overrightarrowAQ) suy ra theo quy tắc hình bình hành ta tất cả (frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC=overrightarrowAN+overrightarrowAQ=overrightarrowAP)

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì (MNparallel ACRightarrow widehatANL=widehatMNB=widehatCAB=60^circ).

Xét tam giác vuông ANL ta có: 

(sinANL=fracALANRightarrow AL=AN.sinANL=fraca2sin60^circ=fracasqrt34)

(cosANL=fracNLANRightarrow NL=AN.cosANL=fraca2cos60^circ=fraca4)

Ta lại có (AQ=PNRightarrow PL=PN+NL=AQ+NL=2a+fraca4=frac9a4)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ALP ta có: 

(AP^2=AL^2+PL^2=frac3a^216+frac81a^216=frac21a^24Rightarrowfracasqrt212)

Vậy (left |frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC ight |=AP=fracasqrt212)

4. Call K là vấn đề nằm bên trên đoạn AM thế nào cho (MK=frac34MA), H thuộc tia MB sao cho (overrightarrowMH=frac52overrightarrowMB).

Khi đó (frac34overrightarrowMA=overrightarrowMK,frac52overrightarrowMB=overrightarrowMH)

Do kia (frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB=overrightarrowMK-overrightarrowMH=overrightarrowHK)

Ta có (MK=frac34AM=frac34.fracasqrt32=frac3asqrt38,MH=frac52MB=frac52.fraca2=frac5a4)

Áp dụng định lý Pitago mang đến tam giác vuông KMH ta có: 

(KH=sqrtMH^2+MK^2=sqrtfrac25a^216+frac27a^264=fracasqrt1278)

Vậy (left | frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB ight |=KH=fracasqrt1278)

Ví dụ 2: Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a.

Chứng minh rằng (overrightarrowu=4overrightarrowMA-3overrightarrowMB+overrightarrowMC-2overrightarrowMD) không phụ thuộc vào vào địa chỉ điểm M.Tính độ dài vectơ (overrightarrowu)

Cách giải: 

Gọi O là tâm hình vuông 

Theo quy tắc ba điểm ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowu&=4overrightarrowMO+overrightarrowOA-3overrightarrowMO+overrightarrowOB+overrightarrowMO+overrightarrowOC-2overrightarrowMO+overrightarrowOD\ onumber&=4overrightarrowOA-3overrightarrowOB+overrightarrowOC-2overrightarrowOD endalign)

Mà (overrightarrowOD=-overrightarrowOB,overrightarrowOC=-overrightarrowOA) đề xuất (overrightarrowu=3overrightarrowOA-overrightarrowOB)

Suy ra (overrightarrowu) không dựa vào vào vị trí của điểm M.

*

2. Lấy điểm (A’) bên trên tia OA làm sao cho (OA’=3OA) lúc đó (overrightarrowOA’=3overrightarrowOA) vì vậy (overrightarrowu=overrightarrowOA’-overrightarrowOB=overrightarrowBA’)

Mặt khác (BA’=sqrtOB^2+left (OA’ ight )^2=sqrtOB^2+9OA^2=asqrt5)

Suy ra (left | overrightarrowu ight |=asqrt5).

Dạng 2: chứng tỏ các đẳng thức vectơ từ dữ liệu đã cho

Phương pháp giải: 

Sử dụng những kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả nhị biểu thức ở nhị vế cùng bằng biểu thức thứ bố hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: 

Các tính chất phép toán vectơCác quy tắc: Quy tắc cha điểm, phép tắc hình bình hành và quy tắc phép trừTính hóa học trung điểm:

M là trung điểm đoạn trực tiếp (ABLeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB=overrightarrow0)

M là trung điểm đoạn trực tiếp (ABLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOM) (Với O là vấn đề tùy ý)

Tính hóa học trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

G là giữa trung tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOG) (Với O là vấn đề tùy ý)

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Call I,J theo lần lượt là trung điểm của AB cùng CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: 

(overrightarrowAC+overrightarrowBD=2overrightarrowIJ)(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0)(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) cùng với M là vấn đề bất kì

Cách giải: 

Theo quy tắc tía điểm ta có: 

(overrightarrowAC=overrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJC)

Tương từ (overrightarrowBD=overrightarrowBI+overrightarrowIJ+overrightarrowJD)

Mà I,J thứu tự là trung điểm của AB và CD phải (overrightarrowAI+overrightarrowBI=overrightarrow0,overrightarrowJC+overrightarrowJD=overrightarrow0)

Vậy (overrightarrowAC+overrightarrowBD=overrightarrowAI+overrightarrowBI+overrightarrowJC+overrightarrowJD+2overrightarrowIJ=2overrightarrowIJ) (đpcm)

*

2. Theo hệ thức trung điểm ta có (overrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOI,overrightarrowOC+overrightarrowOD=2overrightarrowOJ)

Mặt khác O là trung điểm IJ cần (overrightarrowOI+overrightarrowOJ=overrightarrow0) 

Suy ra (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=2left (overrightarrowOI+overrightarrowOJ ight )=overrightarrow0) (đpcm)

3. Theo câu 2. Ta tất cả (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0) vì chưng đó với mọi điểm M thì 

(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowOM+overrightarrowMA+overrightarrowOM+overrightarrowMB+overrightarrowOM+overrightarrowMC+overrightarrowOM+overrightarrowMD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và trung tâm G. Call D, E, F theo thứ tự là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng tỏ rằng (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0)

Cách giải: 

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q làm sao để cho GN = a, GP = b, GQ = c cùng dựng hình bình hành GPRN.

*

Ta có (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0\ Leftrightarrow a.GD.overrightarrowGN+b.GE.overrightarrowGP+c.GF.overrightarrowGQ=overrightarrow0(*))

Ta có: (a.GD=2S_igtriangleup GBC,b.GE=2S_igtriangleup GCA,c.GF=2S_igtriangleup GAB), ngoài ra G là trọng tâm tam giác ABC yêu cầu (S_igtriangleup GBC=S_igtriangleup GCA=S_igtriangleup GAB) suy ra (a.GD=b.GE=c.GF).

Vậy ((*)LeftrightarrowoverrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

Ta tất cả (AC=GP=b,PR=BC=a) và (widehatACB=widehatGPR) (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)

Suy ra (igtriangleup ACB=igtriangleup GPRhspace0.7cmleft (c.g.c ight ))

(Rightarrow GR=AB=c) cùng (widehatPGR=widehatBAC)

Ta gồm (widehatQGP+widehatBAC=180^circRightarrowwidehatQGP+widehatGPR=180^circRightarrow Q,G,R) thẳng hàng cho nên G là trung điểm của QR

Theo phép tắc hình bình hành cùng hệ thức trung điểm ta có: 

(overrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrowGR+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

Vậy (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0).

Dạng 3: khẳng định điểm M thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức vectơ mang lại trước

Phương pháp giải: 

Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng (overrightarrowAM=overrightarrowa) trong số đó điểm A và (overrightarrowa) vẫn biết. Lúc đó tồn tại độc nhất vô nhị điểm M sao để cho (overrightarrowAM=overrightarrowa), để dựng điểm M ta mang A làm gốc dựng một vectơ bởi vectơ (overrightarrowa) suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M.Ta chuyển đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn trực tiếp và trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Khẳng định điểm M, N, p sao cho: 

(2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)(overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0)(3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0)

Cách giải: 

*

Gọi I là trung điểm BC suy ra (overrightarrowMB+overrightarrowMC=2overrightarrowMI)

Do đó (2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)

(2overrightarrowMA+2overrightarrowMI=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMI=overrightarrow0)

Suy ra M là trung điểm AI

2. Call K, H theo lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có 

(overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowNK+2overrightarrowNH=overrightarrow0\ Leftrightarrow overrightarrowNK+overrightarrowNH=overrightarrow0Leftrightarrow N) là trung điểm của KH

3. Call G là giữa trung tâm tam giác BCD lúc ấy ta gồm (overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=3overrightarrowPG)

Suy ra (3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0Leftrightarrow 3overrightarrowPA+3overrightarrowPG=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowPA+overrightarrowPG=overrightarrow0Leftrightarrow P) là trung điểm của AG.

Ví dụ 2: Cho trước hai điểm A, B cùng hai số thực (alpha,eta) thỏa mãn nhu cầu (alpha+eta e0). Minh chứng rằng tồn tại tốt nhất điểm I thỏa mãn (alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB=overrightarrow0).

Từ đó, suy ra với bất cứ điểm M thì (alphaoverrightarrowMA+etaoverrightarrowMB=left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI)

Cách giải: 

Ta có: (alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB=overrightarrow0LeftrightarrowalphaoverrightarrowIA+etaleft ( overrightarrowIA+overrightarrowAB ight )=overrightarrow0\ Leftrightarrowleft ( alpha+eta ight )overrightarrowIA+etaoverrightarrowAB=overrightarrow0Leftrightarrow left ( alpha+eta ight )overrightarrowAI=etaoverrightarrowABLeftrightarrowoverrightarrowAI=fracetaalpha+etaoverrightarrowAB)

Vì A, B cố định nên vectơ (fracetaalpha+etaoverrightarrowAB) không đổi, vì thế tồn tại tuyệt nhất điểm I vừa lòng điều kiện.

Từ kia suy ra (alphaoverrightarrowMA+etaoverrightarrowMB=alphaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIA+ ight )+etaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIB ight )\ =left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI+left ( alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB ight )=left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI) (đpcm).

Dạng 4: đối chiếu một vectơ theo nhì vectơ không cùng phương

Phương pháp giải: 

Sử dụng đặc điểm phép toán vectơ, bố quy tắc phép toán vectơ và đặc thù trung điểm, trọng tâm tam giác.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Đặt (overrightarrowa=overrightarrowAB,overrightarrowb=overrightarrowAC).

Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn nhu cầu (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB,overrightarrowCN=2overrightarrowBC)Hãy so sánh (overrightarrowCM,overrightarrowAN,overrightarrowMN) qua những vectơ (overrightarrowa) với (overrightarrowb)Gọi I là vấn đề thỏa: (overrightarrowMI=overrightarrowCM) minh chứng I, A, N thẳng hàng

Cách giải: 

*

Vì (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB) suy ra M nằm trong cạnh AB và (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB;overrightarrowCN=2overrightarrowBC), suy ra N nằm trong tia BC cùng (CN=2BC).Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowCM&=overrightarrowCA+overrightarrowAM=-overrightarrowAC+frac13overrightarrowAB=frac13overrightarrowa-overrightarrowb\ onumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAB+overrightarrowBN=overrightarrowAB+3overrightarrowBC=overrightarrowAB+3left ( overrightarrowAC-overrightarrowAB ight )=-2overrightarrowa+3overrightarrowb\ onumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowa-2overrightarrowa+3overrightarrowb=-frac73overrightarrowa+3overrightarrowb endalign)

3. Ta có: 

(overrightarrowAI=overrightarrowAM+overrightarrowMI=frac13overrightarrowAB+overrightarrowCM=frac13overrightarrowa+frac13overrightarrowa-overrightarrowb=-frac13left ( -2overrightarrowa+3overrightarrowb ight )\ Rightarrow overrightarrowAI=-frac13overrightarrowANRightarrow A,I,N) trực tiếp hàng.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. điện thoại tư vấn M, N theo thứ tự là nhị điểm ở trên nhì cạnh AB và CD sao để cho (AB=3AM,CD=2CN) với G là trung tâm tam giác MNB. Phân tích những vectơ (overrightarrowAN,overrightarrowMN,overrightarrowAG) qua những vectơ (overrightarrowAB) và (overrightarrowAC)

Cách giải: Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAC+overrightarrowCN=overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ onumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowAB+overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ onumber&=-frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC endalign)

Vì G là trung tâm tam giác MNB nên 

(3overrightarrowAG=overrightarrowAM+overrightarrowAN+overrightarrowAB=frac13overrightarrowAB+left ( overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB ight )+overrightarrowAB=frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC)

Suy ra (overrightarrowAG=frac518overrightarrowAB+frac13overrightarrowAC)

Dạng 5: chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác thuộc trọng tâm

Phương pháp giải: 

Để minh chứng hai điểm (A_1) cùng (A_2) trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau: 

Cách 1: chứng tỏ (overrightarrowA_1A_2=overrightarrow0)

Cách 2: chứng tỏ (overrightarrowOA_1=overrightarrowOA_2) cùng với O là vấn đề tùy ý.

Để minh chứng hai tam giác ABC cùng A’B’C’ cùng giữa trung tâm ta có tác dụng như sau: 

Cách 1: minh chứng G là giữa trung tâm (igtriangleup ABC) trùng với G’ là trung tâm (igtriangleup A’B’C’)

Cách 2: điện thoại tư vấn G là giữa trung tâm (igtriangleup ABC) (tức ta có (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)) ta đi chứng minh (overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’=overrightarrow0)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng (overrightarrowAB=overrightarrowCD) khi còn chỉ khi trung điểm của nhì đoạn trực tiếp AD với BC trùng nhau.

Cách giải: 

Gọi I, J thứu tự là trung điểm của AD cùng BC suy ra (overrightarrowAI=overrightarrowID,overrightarrowCJ=overrightarrowJB)

Do kia (overrightarrowAB=overrightarrowCDLeftrightarrowoverrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJB=overrightarrowCJ+overrightarrowJI+overrightarrowID\ LeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrowJILeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrow0) giỏi I trùng với J.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên những cạnh AB, BC, CA ta đem lần lượt những điểm M, N, P thế nào cho (fracAMAB=fracBNBC=fracCPCA). Chứng minh rằng nhị tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cách giải: 

Giả sử (fracAMAB=k) suy ra (overrightarrowAM=koverrightarrowAB;overrightarrowBN=koverrightarrowBC;overrightarrowCP=koverrightarrowCA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

Ta có: 

(overrightarrowGM+overrightarrowGN+overrightarrowGP=overrightarrowGA+overrightarrowAM+overrightarrowGB+overrightarrowBN+overrightarrowGC+overrightarrowCP\ =overrightarrowAM+overrightarrowBN+overrightarrowCP=koverrightarrowAB+koverrightarrowBC+koverrightarrowCA=kleft ( overrightarrowAB+overrightarrowBC+overrightarrowCA ight )=overrightarrow0)

Vậy hai tam giác ABC với MNP tất cả cùng trọng tâm.

Dạng 6: kiếm tìm tập hòa hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ mang đến trước

Phương pháp giải: 

Để tìm tập phù hợp điểm M thỏa mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong những dạng sau: 

Nếu (left | overrightarrowMA ight |=left | overrightarrowMB ight |) với A, B rõ ràng cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.Nếu (left | overrightarrowMC ight |=kleft | overrightarrowAB ight |) cùng với A, B, C biệt lập cho trước thì M thuộc mặt đường tròn trung tâm C, bán kính bằng (k.left | overrightarrowAB ight |).Nếu (overrightarrowMA=k overrightarrowAB) với A, B, C phân minh và k là số thực thay đổi thì:M thuộc đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC với (kin R)M trực thuộc nửa con đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC và cùng hướng (overrightarrowBC) cùng với (k>0)M trực thuộc nửa con đường thẳng qua A song song cùng với BC với ngược phía (overrightarrowBC) với (k

4. Giả dụ (overrightarrowMA=koverrightarrowBC,B e C) với A, B, C trực tiếp hàng với k đổi khác thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.

Chứng minh rằng tồn tại độc nhất vô nhị điểm I thỏa mãn: (2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0)Tìm quỹ tích trữ M thỏa mãn: (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC ight |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA ight |)

Cách giải: 

Ta có: 

(2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowIA+3left (overrightarrowIA+overrightarrowAB ight )+4left ( overrightarrowIA+overrightarrowAC ight )=overrightarrow0\ Leftrightarrow9overrightarrowIA=-3overrightarrowAB-4overrightarrowACLeftrightarrowoverrightarrowIA=-frac3overrightarrowAB+4overrightarrowAC9Rightarrow I) tồn tại và duy nhất.

2. Cùng với I là vấn đề được xác minh ở câu 1, ta có: 

(2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC=9overrightarrowMI+left ( 2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC ight )=9overrightarrowMI) và (overrightarrowMB-overrightarrowMA=overrightarrowAB) đề xuất (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC ight |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA ight |Leftrightarrowleft | 9overrightarrowMI ight |=left | overrightarrowAB ight |Leftrightarrow MI=fracAB9)

Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trung khu I bán kính (fracAB9)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M với N làm sao để cho (overrightarrowAM=koverrightarrowAB,overrightarrowDN=koverrightarrowDC). Kiếm tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN lúc k nạm đổi.

Cách giải: 

Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AD cùng BC.

*

Ta có: 

(overrightarrowAB-overrightarrowAO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’B) và (overrightarrowDC-overrightarrowDO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’C)

Suy ra (overrightarrowAB+overrightarrowDC=2overrightarrowOO’)

Tương tự bởi O, I thứu tự là trung điểm của AD với MN yêu cầu (overrightarrowAM+overrightarrowDN=2overrightarrowOI)

Do đó (overrightarrowOI=frac12koverrightarrowAB+koverrightarrowDC=koverrightarrowOO’)

Vậy k cụ đổi, tập phù hợp điểm I là con đường thẳng OO’.

Dạng 7: xác định tính hóa học của hình khi biết một đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Phân tính được định tính xuất hành từ những đẳng thức vectơ của đưa thiết, chú ý tới đều hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trung tâm của tam giác và tác dụng “(moverrightarrowa+noverrightarrowb=overrightarrow0Leftrightarrow m=n=0) với (overrightarrowa,overrightarrowb) là nhị vectơ không thuộc phương”

Ví dụ 1: Gọi M, N theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AD với DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM giảm nhau tại p. Biết: (overrightarrowPM=frac15overrightarrowBM;overrightarrowAP=frac25overrightarrowAN). Chứng tỏ rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cách giải: 

Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowAB&=overrightarrowAM+overrightarrowMB=overrightarrowAM+5overrightarrowMP\ onumber&=5overrightarrowAP-4overrightarrowAM=2overrightarrowAN-2overrightarrowAD\ onumber&=2left ( overrightarrowAD+overrightarrowDN ight )-2overrightarrowAD\ onumber&=2overrightarrowDN=overrightarrowDCRightarrow ABCD endalign) là hình bình hành

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có những cạnh bởi a, b, c và trung tâm G thỏa mãn: (a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0). Chứng tỏ rằng ABC là tam giác đều.

Cách giải: 

G là trung tâm tam giác ABC nên: 

(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowGA=-overrightarrowGB-overrightarrowGC)

Suy ra: 

(a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow a^2-overrightarrowGB-overrightarrowGC+b^2overrightarrowGB+coverrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow b^2-a^2overrightarrowGB+c^2-a^2overrightarrowGC=overrightarrow0hspace0.7cmleft ( * ight ))

Vì (overrightarrowGB) với (overrightarrowGC) là nhị vectơ không cùng phương, cho nên vì thế (*) tương đương với:

(left{eginmatrix b^2-a^2=0\ c^2-a^2=0 endmatrix ight. Leftrightarrow a=b=c) giỏi tam giác ABC đều.

Dạng 8: chứng minh bất đẳng thức và tìm rất trị tương quan độ nhiều năm vectơ

Phương pháp giải: 

Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: 

Với gần như vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) ta luôn có: 

(left |overrightarrowa+overrightarrowb ight |(left |overrightarrowa+overrightarrowb ight |geleft | overrightarrowa ight |-left | overrightarrowb ight |), vết bằng xảy ra khi (overrightarrowa,overrightarrowb) ngược hướngĐưa bài xích toán lúc đầu về việc tìm rất trị của (left | overrightarrowMI ight |) với M cầm đổiNếu M là điểm đổi khác trên con đường thẳng (Delta) khi đó (left | overrightarrowMI ight |) đạt giá trị bé dại nhất khi còn chỉ khi M là hình chiếu của M lên (Delta).Nếu M là điểm chuyển đổi trên đường tròn (O) khi ấy (left | overrightarrowMI ight |) đạt giá chỉ trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi M là giao điểm của tia OI với mặt đường tròn; (left | overrightarrowMI ight |) đạt quý hiếm lớn nhất khi và chỉ lúc M là giao điểm của tia IO với con đường tròn.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và mặt đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá bán trị bé dại nhất (T=left | overrightarrowMA+overrightarrowMB-overrightarrowMC ight |)

Cách giải: 

Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì (overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC=overrightarrow0)

Khi đó: 

(eginalign onumber T&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowMI+overrightarrowIB-overrightarrowMI+overrightarrowIC ight |\ onumber&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC ight |=left | overrightarrowMI ight | endalign)

Vậy T đạt giá chỉ trị nhỏ nhất khi còn chỉ khi M là hình chiếu của I xuất phát thẳng d.

Xem thêm: Vợ Của Phạm Nhật Vượng Là Ai, Phu Nhân Tỷ Phú Phạm Nhật Vượng

inthepasttoys.net sẽ cùng chúng ta tìm hiểu chi tiết và rõ ràng về chuyên đề tích của vectơ với cùng 1 số. Với gần như nội dung bên trên đây, ý muốn rằng bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích ship hàng cho quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ thể tích của vectơ với một số. Chúc bạn luôn học tập thật tốt!.