Tích phân là kiến thức quan trọng, để học tốt thì học viên cần nhớ toàn cục công thức tích phân. Bài viết này sẽ giới thiệu cục bộ công thức và hệ thống các dạng tích phân thường gặp trong đề thi. Chỉ việc nhớ và vận dụng thành thành thục là bạn đã chiếm hữu điểm về tối đa.

Bạn đang xem: Bảng công thức tích phân


Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp biến hóa từ cách làm tính tích phân2. Một vài dạng toán thường xuyên gặpPhương pháp tính tích phân từng phần

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số (fleft( x ight)) tiếp tục trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là một trong những nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) bên trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được điện thoại tư vấn là tích phân của (f) trường đoản cú (a) mang đến (b). Kí hiệu:

$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$

Tính hóa học tích phân

Giả sử các hàm số (f,g) liên tiếp trên (left< a;b ight>,c) là vấn đề bất kì thuộc (left< a;b ight>). Lúc đó ta có:

(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân những hàm số cơ bạn dạng (đa thức, lượng giác, mũ,…) những em cần chăm chú sử dụng bảng nguyên hàm những hàm số cơ bạn dạng kết hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))

ở đó, (fleft( x ight)) là hàm tiếp tục trên (left< a;b ight>) cùng (Fleft( x ight)) là một trong những nguyên hàm của (fleft( x ight)).


*

Tính tích phân bao gồm chứa dấu quý giá tuyệt đối

Đối với những tích phân dạng (intlimits_a^b fleft( x ight) ight ), cách thức chung là ta cố gắng phá dấu giá trị hoàn hảo hàm (fleft( x ight)) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt các tích phân đó.

Phương pháp đổi khác từ phương pháp tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ


Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức thay đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )

2. Một số dạng toán thường gặp


Dạng 1: Tính tích phân bằng phương thức đổi trở thành (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng cách thức đổi trở thành (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến thay đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo bí quyết (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức đề xuất nhớ


Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )

2. Một số bài toán thường xuyên áp dụng phương pháp tích phân từng phần


Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 2: Tích phân bao gồm chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 3: Tích phân gồm chứa hàm con số giác và hàm nhiều thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 4: Tích phân gồm chứa hàm con số giác và hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

Xem thêm: Biện Pháp Tu Từ Là Gì? Các Biện Pháp Tu Từ Về Từ Thường Gặp

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Hy vọng với bài viết này để giúp đỡ ích các bạn đạt công dụng cao.