2-Một số phương thức và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm vẫn cho học viên học sau.
3-Rèn khả năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.
B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức tốt dùng
Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 7
Bạn đang xem đôi mươi trang mẫu mã của tư liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức", để download tài liệu cội về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD nghỉ ngơi trên
Xem thêm: Hiền Tài Là Nguyên Khí Của Quốc Gia (Thân Nhân Trung), Hiền Tài Là Nguyên Khí Quốc Gia
Chuyên đề: Bất đẳng thứca.mục tiêu:1-Học sinh nắm vững một số phương thức chứng minh bất đẳng thức.2-Một số phương thức và bài bác toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm vẫn cho học viên học sau.3-Rèn tài năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.B- câu chữ Phần 1 : các kiến thức cần xem xét 1- Định nghĩa 2- tính chất 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp cần sử dụng định nghĩa 2- phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- cách thức dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- cách thức sử dụng đặc điểm bắc cầu 5- phương pháp dùng đặc thù tỉ số 6- phương thức làm trội 7- phương thức dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- cách thức đổi trở thành số 9- cách thức dùng tam thức bậc hai 10- phương thức quy nạp 11- phương thức phản bệnh Phần 3 :các bài bác tập nâng cao PHầN 4 : áp dụng của bất đẳng thức 1- dùng bất đẳng thức nhằm tìm rất trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình cùng bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyênPhần I : các kiến thức đề nghị lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính hóa học + A>B + A>B với B >C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B với C > 0 A.C > B.C + A>B và C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B cùng với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( vệt = xảy ra khi A.B B Ta chứng tỏ A –B > 0 lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M ví dụ như 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z vì chưng (x-y)2 0 với"x ; y lốt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z lốt bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vết bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx vết bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với đa số x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;z vệt bằng xẩy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra lúc x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài bác toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy dấu bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để chứng tỏ AB theo định nghĩa bước 1: Ta xét hiệu H = A - B cách 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) cách 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) chứng minh "m,n,p,q ta đều phải có m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi phương thức 2 : sử dụng phép biến đổi tương đươngLưu ý: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được minh chứng là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: lấy ví dụ như 1: mang lại a, b, c, d,e là những số thực minh chứng rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta bao gồm điều đề xuất chứng minhVí dụ 2: minh chứng rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta bao gồm điều phải minh chứng Ví dụ 3: đến x.y =1 và x.y chứng minh Giải: vị :xy phải x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 bởi vì x.y=1 buộc phải 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn luôn đúng . Vậy ta có điều nên chứng minhVí dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực không giống không x, y, z thỏa mãn: chứng minh rằng :có đúng một trong những ba số x,y,z to hơn 1 (đề thi Lam sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường đúng theo trên tức là có đúng 1 trong các ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Phư ơng pháp 3: cần sử dụng bất đẳng thức quen thuộcA/ một số trong những bất đẳng thức hay dùng 1) các bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: nếu như Nếu lốt bằng xẩy ra khib/ các ví dụ lấy ví dụ như 1 mang lại a, b ,c là các số ko âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: biện pháp 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vết “=” xảy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 với a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 với x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y vừa lòng ;CMR: x+y lấy ví dụ 3: đến a>b>c>0 và minh chứng rằng Giải: do a,b,c đối xứng ,giả sử abc áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có == Vậy vết bằng xảy ra khi a=b=c= ví dụ 4: cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta bao gồm Do abcd =1 đề nghị cd = (dùng ) Ta có (1) mặt khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy lấy một ví dụ 5: đến 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd mà lại ví dụ 6: minh chứng rằng Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cách 1: Xét cặp số (1,1,1) với (a,b,c) ta có 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPh ương pháp 4: Sử dụng đặc điểm bắc cầuL ưu ý: A>B với b>c thì A>c 00 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)ví dụ 2: đến a,b,c>0 thỏa mãn minh chứng Giải: Ta tất cả :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân chia hai vế cho abc > 0 ta tất cả ví dụ 3 mang đến 0 1-a-b-c-d Giải: Ta tất cả (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vày a>0 , b>0 buộc phải ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì c 0 ta gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều phải chứng minh)ví dụ 41- cho 0 0 1+ > + b cơ mà 0 , > tự (1) cùng (2) 1+> + Vậy + 0 thì tự ` lấy ví dụ như 1 : mang lại a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo đặc điểm của tỉ lệ thức ta tất cả (1) mặt khác : (2) từ bỏ (1) cùng (2) ta bao gồm 1 minh chứng rằng Giải: Ta bao gồm với k = 1,2,3,,n-1 vày đó: lấy một ví dụ 2 : chứng tỏ rằng: cùng với n là số nguyên Giải :Ta bao gồm Khi mang đến k chạy từ một đến n ta có một > 2 cộng từng vế những bất đẳng thức trên ta có Ví dụ 3 : minh chứng rằng Giải: Ta có Cho k chạy từ 2 mang đến n ta gồm Vậy Ph ương pháp 7: cần sử dụng bất đẳng thức trong tam giácLưu ý: nếu a;b;clà số đo bố cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 cùng |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác cần ta tất cả ị cùng từng vế các bất đẳng thức bên trên ta bao gồm a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế những bất đẳng thức ta đượcVí dụ2: (404 – 1001) 1) đến a,b,c là chiều dài tía cạnh của tam giác chứng minh rằng 2) mang đến a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác bao gồm chu vi bằng 2 chứng tỏ rằng Ph ương pháp 8: đổi phát triển thành sốVí dụ1: mang lại a,b,c > 0 minh chứng rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta bao gồm a= ; b = ; c =ta tất cả (1) ( Bất đẳng thức cuối cùng đúng bởi ( ; đề xuất ta tất cả điều phải minh chứng Ví dụ2: cho a,b,c > 0 và a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát lác m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: cần sử dụng tam thức bậc haiLưu ý : cho tam thức bậc hai trường hợp thì ví như thì ví như thì cùng với hoặc () với Ví dụ1: minh chứng rằng (1) Giải: Ta tất cả (1) Vậy với tất cả x, yVí dụ2: chứng tỏ rằngGiải: Bất đẳng thức cần minh chứng tương đương cùng với Ta bao gồm Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: dùng quy hấp thụ toán họcKiến thức: Để chứng tỏ bất đẳng thức đúng cùng với ta thực hiện quá trình sau : 1 – soát sổ bất đẳng thức đúng cùng với 2 - trả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần minh chứng được hotline là giả thiết quy hấp thụ ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần minh chứng rồi chuyển đổi để sử dụng giả thiết quy nạp) 4 – tóm lại BĐT đúng với mọi Ví dụ1: minh chứng rằng (1) Giải : với n =2 ta tất cả (đúng) Vậy BĐT (1) đúng cùng với n =2 trả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải minh chứng BĐT (1) đúng cùng với n = k+1 thiệt vậy lúc n =k+1 thì (1) Theo giả thiết quy hấp thụ k2+2k 0 minh chứng rằng (1)GiảiTa thấy BĐT (1) đúng cùng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng cùng với n=k+1Thật vậy với n = k+1 ta bao gồm (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta chứng tỏ (3) (+) mang sử a b cùng giả thiết cho a -b a (+) mang sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : đưa sử a 0 thì từ bỏ abc > 0 a 0 cho nên vì vậy a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 bởi vì a 0 b + c 0 tương tự ta gồm b > 0 , c > 0 ví dụ 2: cho 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải : mang sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo giả thiết ta gồm 4(b+d) 2ac (2) từ bỏ (1) với (2) hay (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức với có tối thiểu một các bất đẳng thức saiVí dụ 3: đến x,y,z > 0 với xyz = 1. Chứng minh rằng nếu như x+y+z > thì có 1 trong những ba số này lớn hơn 1 Giải : Ta bao gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vị xyz = 1 theo trả thiết x+y +z > bắt buộc (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương thật vậy nếu như cả bố số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 vào 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiảiTa gồm hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 với a3 > 36 bắt buộc a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều đề xuất chứng minh2) minh chứng rằng a) b) với tất cả số thực a , b, c ta gồm c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta bao gồm điều phải minh chứng b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta tất cả điều phải chứng minh c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều đề nghị chứng minhIi / Dùng biến hóa tương đương 1) mang đến x > y cùng xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có (vì xy = 1) vì thế BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng bắt buộc ta bao gồm điều đề nghị chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta tất cả BĐT cuối này đúng bởi xy > 1 .Vậy ta gồm điều phải chứng minhIii / dùng bất đẳng thức phụ 1) mang lại a , b, c là những số thực cùng a + b +c =1 chứng minh rằng Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski mang đến 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta bao gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) đến a,b,c là các số dương minh chứng rằng (1) Giải : (1) áp dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0 Ta gồm BĐT ở đầu cuối luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng cách thức bắc cầu 1) cho 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : vị a ,b ,c ,d > 0 phải ta bao gồm (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta bao gồm : (đpcm) 2) đến a ,b,c là số đo bố cạnh tam giác chứng minh rằng Giải : vì a ,b ,c là số đo bố cạnh của tam giác buộc phải ta bao gồm a,b,c > 0 cùng a 0 cùng x+y+z =1 Giải : vày x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z= lấy ví dụ 3 : đến xy+yz+zx = 1 Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của Giải : vận dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta gồm (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1) Ta có Từ (1) với (2) Vậy có giá trị bé dại nhất là lúc x=y=z= ví dụ như 4 : vào tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích s lớn tuyệt nhất Giải : gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta có S = vị a không đổi cơ mà x+y = 2a Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn số 1 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn độc nhất Ii/ dùng b.đ.t nhằm giải phương trình cùng hệ phương trình ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta gồm Vậy vệt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình tất cả nghiệm tốt nhất x = -1 ví dụ như 2 : Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : vết (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác lốt (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 và y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ như 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : vận dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) đề xuất Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy có nghiệm x = y = z = ví dụ như 4 : Giải hệ phương trình sau tự phương trình (1) xuất xắc Từ phương trình (2) trường hợp x = thì y = 2 ví như x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm và Iii/ sử dụng B.Đ.t nhằm giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm những số nguyên x,y,z vừa ý Giải : bởi x,y,z là những số nguyên nên (*) Mà các số x,y,z phải tìm là lấy một ví dụ 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : không mất tính tổng quát ta trả sử Ta bao gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo đưa sử xy nên 1 = cơ mà y nguyên dương bắt buộc y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 không thích phù hợp với y = 2 ta có x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một trong nghiệm của phương trình Hoán vị những số bên trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) lấy ví dụ như 3 : Tìm các cặp số nguyên đống ý phương trình (*) Giải : (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta bao gồm Đặt (k nguyên dương vị x nguyên dương ) Ta gồm Nhưng cơ mà giữa k với k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một vài nguyên dương nào cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào vừa lòng phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm tuyệt nhất là :