Bất đẳng thức đáng hãy nhớ là kiến thức đặc biệt trong công tác Toán học cho những em học tập sinh. Có rất nhiều bất đẳng thức mà học viên phải ghi nhớ lúc còn ngồi bên trên ghế nhà trường. Một trong các đó là bất đẳng thức nesbit. Vậy bất đẳng thức nesbit là gì, công thức quản lý và vận hành như cụ nào thì nên cùng inthepasttoys.net tò mò qua bài viết dưới phía trên nhé!


Bất đẳng thức nesbit là gì?

Trong toán học, b là một ngôi trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro lúc số bộ phận là 3. Nó được tuyên bố như sau:

Cho a,b,c là cha số thực dương. Lúc ấy ta có:

*

Chứng minh bất đẳng thức nesbit

Chứng minh

Bất đẳng thức này có tương đối nhiều cách chứng minh. Sau đây trình bày 2 cách.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức nesbitt

Cách thứ nhất

Bắt đầu tự bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)

*

Biến đổi vế trái:

*

Thêm một bước đổi mới đổi:

*

Chia cả nhị vế đến 3 và gửi vế:

*

Vế trái là mức độ vừa phải cộng, vế cần là vừa phải điều hoà, vì vậy bất đẳng thức đúng, ta có vấn đề cần chứng minh.

(Ta cũng hoàn toàn có thể sử dụng vừa đủ nhân của tía biến để triệu chứng minh).

Cách vật dụng hai

Không mất tổng quát, trả sử a>=b>=c, ta có:

*

Đặt:

*

*

Tích vô hướng của 2 vectơ trên cực to theo Bất đẳng thức thiến nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt với là những vector thu được từ chuyển tương xứng 1 và 2 vị trí, ta có:

*

*

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.

Cách đồ vật ba

đặt S= a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)

M= b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)

N= c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)

có M+N=3

áp dụng bất đẳng thức AM-GM

M+S>=3

N+S>=3

=>M+N+2S>=6

=>2S+3>=6

=>S>=3/2(đpcm)

Bài tập vận dụng bất đẳng thức nesbit

Bài tập 1. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Chứng tỏ rằng: 1 a2 (b + c) + 1 b2 (c + a) + 1 c2 (a + b) ≥ 3 2 

Lời giải. Ta có: ∑ 1 a2 (b + c) = ∑ abc a2 (b+ c) = ∑ bc ab + ca ≥ 3 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài tập 2. mang đến a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Minh chứng rằng: a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 ≥ 9 4 (a + b + c) 

Lời giải. Ta viết lại bất đẳng thức: (a + b+ c) ( a (b + c)2 + b (c + a)2 + c (a + b)2 ) ≥ 9 4 Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz có: (a + b + c) ( a (b + c)2 + b (c + a)2 + c (a + b)2 ) ≥ ( a b+ c + b c + a + c a + b )2 ≥ 9 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Bài tập 3.

Xem thêm: Tặng Gì Cho Mẹ - 30 Món Quà Tặng Mẹ Thiết Thực Và Ý Nghĩa Nhất

đến a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng tỏ rằng: 1 a (b + 1) + 1 b (c + 1) + 1 c (a + 1) ≥ 3 2 

Lời giải. Đặt a = x/y, b = y/z, c = z/x, ta có: ∑ 1 a (b + 1) = ∑ yz xy + zx ≥ 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Bài tập 4. đến a, b > 0 và x, y, z là những số dương tuỳ ý. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của: x2 (ay + bz)(az + by) + y2 (az + bx)(ax+ bz) + z2 (ax+ by)(ay + bx) 

Lời giải. Theo bất đẳng thức AM −GM có: (ay + bz)(az + by) ≤ (ay + bz + az + by) 2 4 = (a + b)2(y + z)2 4 ≤ (a + b) 2(y2 + z2) 2 Suy ra, x2 (ay + bz)(az + by) ≥ 2x 2 (a + b)2(y2 + z2) Tương tự, ta có: y2 (az + bx)(ax+ bz) ≥ 2y 2 (a + b)2(z2 + x2) z2 (ax + by)(ay + bx) ≥ 2z 2 (a + b)2(x2 + y2) bởi vì đó, ∑ x2 (ay + bz)(az + by) ≥ 2 (a + b)2 ( x2 y2 + z2 + y2 z2 + x2 + z2 x2 + y2 ) ≥ 3 (a + b)2