Bạn mong muốn giải được những bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, thay đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và thpt thì chúng ta cần nắm vững được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của nhì bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhị lập phương cùng hiệu hai lập phương. Để đọc thêm về các hằng đẳng thức này, bọn họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các hằng đẳng thức đang nhớ


Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

*


1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số trước tiên cộng hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số đồ vật hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta bao gồm x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bởi bình phương của số trước tiên trừ đi nhị lần tích của số đầu tiên và số sản phẩm hai, tiếp đến cộng với bình phương của số trang bị hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của nhì bình phương

Hiệu hai bình phương nhì số bằng tổng nhì số đó, nhân cùng với hiệu nhị số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thiết bị nhất, cộng với tía lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thiết bị hai, cộng với cha lần tích số trước tiên nhân cùng với bình phương số máy hai, rồi cộng với lập phương của số máy hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu nhị số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi bố lần tích bình phương của số đầu tiên nhân với số máy hai, cùng với ba lần tích số trước tiên nhân với bình phương số thiết bị hai, tiếp nối trừ đi lập phương của số sản phẩm hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng nhị lập phương

 Tổng của hai lập phương nhì số bởi tổng của nhì số đó, nhân với bình phương thiếu hụt của hiệu hai số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

Hiệu của nhị lập phương của nhì số bởi hiệu hai số đó nhân cùng với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) bên dưới dạng hiệu nhì lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta có : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ trái hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên thì bọn họ còn gồm hệ trái của 7 hằng đẳng thức trên. Thường thực hiện trong khi thay đổi lượng giác chứng tỏ đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ trái tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả không giống của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài bác tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của những biểu thức.

Tính quý hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Lời giải.

Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: minh chứng biểu thức A mà không nhờ vào biến.

Ví dụ: chứng minh biểu thức sau không dựa vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào vào biến đổi x.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá bán trị nhỏ dại nhất với giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, vết “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 xuất xắc x = 1

⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối cùng với dạng toán này bọn chúng ta biến hóa VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Xem thêm: Tài Liệu Srs Là Gì - Khái Niệm Mà Bất Cứ Ba Nào Cũng Phải Thuộc Lòng

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 bao gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm quý hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng bài xích tập thường gặp mặt mà cửa hàng chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp cho bạn áp dụng vào bài xích tập nhé