Với Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:


Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giácα+k2πm; k∈ℤ được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc 2πm)

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung .

Bạn đang xem: Cách hợp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc 2πm. (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức:

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là β.

- Công thức biểu diễn các điểm đó là x=α+kβ  k∈ℤvới αlà 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.

* Loại nghiệm:

- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Lời giải

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

Bước 1: Biểu diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu diễn x=π2+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung π2.

- Điểm còn lại cách N1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.

*

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một gócπ2

*

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: x=0+kπ2 k∈ℤhay x=kπ2 k∈ℤ.

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

Bước 1: Biểu diễn x=π6+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung π6.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu diễn x=2π3+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung 2π3.

- Điểm còn lại cách N1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ.

*

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc π2và chọn điểm bắt đầu là π6.

*

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: x=π6+kπ2 k∈ℤ.

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Bước 1: Biểu diễn x=kπ3 =0+k2π6k∈ℤtrên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π3(hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4; M5; M6 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu diễn điểm x≠π+k2πk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N biểu diễn cung π.

- Các điểm còn lại cách N đúng 2π(tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x≠π+k2πk∈ℤtrên đường tròn.

*

Bước 3: Loại nghiệm

Ta thấy điểm M4 trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M1; M2; M3; M5; M6.

- Điểm M2; M5 cách nhau một góc πvà chọn điểm bắt đầu là M2 có góc lượng giác là π3. Công thức biểu diễn hai điểm M2; M5 là x=π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M3; M6 cách nhau một góc πvà chọn điểm bắt đầu là M6 có góc lượng giác là −π3. Công thức biểu diễn hai điểm M3; M6 là x=−π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M1: công thức biểu diễn là x=0+k2πk∈ℤ.

Vậy các họ nghiệm thu được làx=±π3+kπ;  x=2kπ;k∈ℤ

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

⇔2sinxcosx−2sinx=0⇔2sinxcosx−1=0⇔sinx=0cosx=1⇔x=kπx=k2πk∈ℤ

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: Biểu diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu điễn x=k2πk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- Các điểm còn lại cách N đúng 2π(tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x=k2πk∈ℤtrên đường tròn.

*

Bước 3: Kết hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm x=kπk∈ℤ.

Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là x=kπ;k∈ℤ.

b) tan3x = tanx

Điều kiện xác định:

cos3x≠0cosx≠0⇔3x≠π2+kπx≠π2+kπ⇔x≠π6+kπ3x≠π2+kπk∈ℤ

Ta có: tan3x = tanx

⇔3x=x+kπ⇔2x=kπ⇔x=kπ2k∈ℤ

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

Bước 1: Biểu diễn x=kπ2 =k2π4k∈ℤtrên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π2(hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu diễn x≠π6 +kπ3k∈ℤtrên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung π6.

- Điểm còn lại cách N1 một góc π3(hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N1) là các điểm N2; N3; N4; N5; N6 trên hình vẽ.

*

Bước 3: Biểu điễn x≠π2+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm P1 biểu diễn cung π2.

- Điểm còn lại cách P1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P2 trên hình vẽ.

*

Bước 4: Loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M1 và M3.

Xem thêm: Những Bài Văn Tiếng Anh Lớp 5 Mẫu), Bài Tập Tiếng Anh Lớp 5

Điểm M1; M3 cách nhau một góc và chọn điểm bắt đầu là M1 có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M1; M3 là x=kπk∈ℤhay x=kπ;k∈ℤ.