Với Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác Toán lớp 11 chi tiết nhất góp học sinh thuận tiện nhớ cục bộ các công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác từ đó biết cách làm bài bác tập Toán 11. Mời chúng ta đón xem:


Công thức, phương pháp gộp nghiệm phương trình lượng giác - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trê tuyến phố tròn lượng giác:

Cung lượng giácα+k2πm; k∈ℤ được màn trình diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm giải pháp nhau đúng góc 2πm)

Bước 1: khẳng định điểm M màn trình diễn cung .

Bạn đang xem: Cách hợp nghiệm phương trình lượng giác

Bước 2: xác minh m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc 2πm. (Hoặc phân tách đường tròn thành m phần bằng nhau, bước đầu chia tự điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức:

Sau khi màn trình diễn họ nghiệm trên phố tròn lượng giác

* Ta hợp những nghiệm bởi cách:

- kiếm tìm ra những điểm giải pháp đều nhau. Tìm khoảng cách giữa bọn chúng là β.

- công thức biểu diễn các điểm sẽ là x=α+kβ  k∈ℤvới αlà 1 cung bất kể của 1 điểm trong những điểm đó.

* các loại nghiệm:

- Ta bỏ đi những điểm không khẳng định và tìm cách làm biểu diễn những điểm còn sót lại như phần phù hợp nghiệm.

3. Ví dụ như minh họa

Ví dụ 1: Hợp những họ nghiệm sau:

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Lời giải

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

Bước 1: trình diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác.

- xác minh điểm M1 màn biểu diễn cung 0.

- Điểm còn sót lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là vấn đề M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: trình diễn x=π2+kπ k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm N1 trình diễn cung π2.

- Điểm còn sót lại cách N1 một góc π(tức nửa con đường tròn lượng giác) là điểm N2 bên trên hình vẽ.

*

Bước 3: thích hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm biện pháp đều nhau một gócπ2

*

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: x=0+kπ2 k∈ℤhay x=kπ2 k∈ℤ.

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

Bước 1: trình diễn x=π6+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- xác định điểm M1 trình diễn cung π6.

- Điểm còn sót lại cách M1 một góc π(tức nửa mặt đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: màn biểu diễn x=2π3+kπ k∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm N1 trình diễn cung 2π3.

- Điểm còn sót lại cách N1 một góc π(tức nửa con đường tròn lượng giác) là vấn đề N2 bên trên hình vẽ.

*

Bước 3: hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm giải pháp đều nhau một góc π2và lựa chọn điểm bắt đầu là π6.

*

Công thức trình diễn 4 đặc điểm này là: x=π6+kπ2 k∈ℤ.

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Bước 1: trình diễn x=kπ3 =0+k2π6k∈ℤtrên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- xác định điểm M1 màn biểu diễn cung 0.

- Điểm sót lại cách M1 một góc π3(hoặc phân tách đường tròn thành 6 phần, bước đầu chia từ bỏ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4; M5; M6 trên hình vẽ.

*

Bước 2: màn trình diễn điểm x≠π+k2πk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm N màn biểu diễn cung π.

- các điểm còn sót lại cách N đúng 2π(tức là một vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N trình diễn x≠π+k2πk∈ℤtrên đường tròn.

*

Bước 3: loại nghiệm

Ta thấy điểm M4 trùng với N. Cần ta chỉ nhận những điểm M1; M2; M3; M5; M6.

- Điểm M2; M5 phương pháp nhau một góc πvà lựa chọn điểm bắt đầu là m2 có góc lượng giác là π3. Công thức màn biểu diễn hai điểm M2; M5 là x=π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M3; M6 giải pháp nhau một góc πvà chọn điểm ban đầu là M6 tất cả góc lượng giác là −π3. Công thức biểu diễn hai điểm M3; M6 là x=−π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M1: công thức trình diễn là x=0+k2πk∈ℤ.

Vậy các họ nghiệm thu sát hoạch được làx=±π3+kπ;  x=2kπ;k∈ℤ

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

⇔2sinxcosx−2sinx=0⇔2sinxcosx−1=0⇔sinx=0cosx=1⇔x=kπx=k2πk∈ℤ

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: biểu diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- xác minh điểm M1 màn trình diễn cung 0.

- Điểm sót lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

*

Bước 2: Biểu điễn x=k2πk∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm N trình diễn cung 0.

- những điểm còn sót lại cách N đúng 2π(tức là 1 trong những vòng tròn lượng giác). Có nghĩa là chỉ có 1 điểm N biểu diễn x=k2πk∈ℤtrên đường tròn.

*

Bước 3: phối hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm x=kπk∈ℤ.

Kết luận: bọn họ nghiệm của phương trình là x=kπ;k∈ℤ.

b) tan3x = tanx

Điều kiện xác định:

cos3x≠0cosx≠0⇔3x≠π2+kπx≠π2+kπ⇔x≠π6+kπ3x≠π2+kπk∈ℤ

Ta có: tan3x = tanx

⇔3x=x+kπ⇔2x=kπ⇔x=kπ2k∈ℤ

Kết phù hợp với điều kiện xác minh như sau:

Bước 1: màn trình diễn x=kπ2 =k2π4k∈ℤtrên con đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- xác minh điểm M1 trình diễn cung 0.

- Điểm còn sót lại cách M1 một góc π2(hoặc chia đường tròn thành 4 phần, ban đầu chia trường đoản cú điểm M1) là các điểm M2; M3; M4 trên hình vẽ.

*

Bước 2: màn biểu diễn x≠π6 +kπ3k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- xác định điểm N1 biểu diễn cung π6.

- Điểm còn sót lại cách N1 một góc π3(hoặc phân tách đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ bỏ điểm N1) là những điểm N2; N3; N4; N5; N6 trên hình vẽ.

*

Bước 3: Biểu điễn x≠π2+kπ k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác.

- xác định điểm P1 biểu diễn cung π2.

- Điểm còn lại cách P1 một góc π(tức nửa mặt đường tròn lượng giác) là vấn đề P2 trên hình vẽ.

*

Bước 4: một số loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác minh là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ mang được nghiệm là trình diễn bởi điểm M1 với M3.

Xem thêm: Những Bài Văn Tiếng Anh Lớp 5 Mẫu), Bài Tập Tiếng Anh Lớp 5

Điểm M1; M3 cách nhau một góc và chọn điểm bước đầu là M1 tất cả góc lượng giác là 0. Công thức màn trình diễn hai điểm M1; M3 là x=kπk∈ℤhay x=kπ;k∈ℤ.