Giả sử là 1 trong những mệnh đề phụ thuộc vào vào số tự nhiên và thoải mái n. Ví như cả hai đk
Với mỗi số thoải mái và tự nhiên
Phương pháp minh chứng dựa trên nguyên lý quy hấp thụ toán học gọi là phương pháp quy hấp thụ toán học( hay call tắt là phương pháp quy nạp).
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
PHƯƠNG PHÁP
Để minh chứng một mệnh đề phụ thuộc vào vào số tự nhiên n đúng với tất cả (m là số tự nhiên cho trước), ta triển khai theo hai bước sau:
Bước 1: chứng tỏ rằng đúng khi
Bước 2: với k là một số tự nhiên tùy ý,
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: chứng minh rằng với tất cả số nguyên n, ta có:
a).
b).
LỜI GIẢI
| a). (1) |
Với n = 1: Vế trái của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Bao gồm nghĩa ta bắt buộc chứng minh:
Thật vậy
Vậy (1) đúng vào lúc . Vì thế theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
| b). (1) |
Với n = 1: Vế trái của (1)
Suy ra Vế trái của (1) = Vế bắt buộc của (1). Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Tức là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Gồm nghĩa ta đề xuất chứng minh:
Thật vậy
Vậy (1) đúng vào khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Với mỗi số nguyên dương n, gọi
LỜI GIẢI
Ta có
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy, ta bao gồm
Vậy với đa số số nguyên dương n thì chia hết mang đến 8.
Ví dụ 3: chứng tỏ rằng với đa số số tự nhiên và thoải mái , ta luôn luôn có:
LỜI GIẢI
Với ta bao gồm
Giả sử với
Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta đề nghị chứng minh:
Thật vậy, nhân hai vế của (1) cùng với 3 ta được:
Do kia theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương .
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bạn đang xem: Chứng minh quy nạp toán rời rạc
Câu 1: minh chứng rằng với đa số số nguyên dương n, ta có:
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
9).
10).
11).
1).
Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế đề xuất của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Tức là ta có:
Ta phải minh chứng (1) đúng với . Bao gồm nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương n.
Áp dụng: ta thấy
2).
Với n = 1: Vế trái của (1) = 4, vế đề nghị của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với . Tức là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Bao gồm nghĩa ta đề nghị chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng lúc . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương n.
3).
Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế cần của (1) . Suy ra (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với .Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Gồm nghĩa ta cần chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng vào khi . Cho nên vì thế theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
4). (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế buộc phải của (1) . Suy ra (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với .Có tức thị ta có:
Ta phải chứng tỏ (1) đúng cùng với . Bao gồm nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng khi . Cho nên vì vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với tất cả số nguyên dương n.
5). (1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế yêu cầu của (1) . Suy ra (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với . Tức là ta có:
Ta phải minh chứng (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng vào lúc . Vì vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với tất cả số nguyên dương n.
Với n = 1: Vế trái của (1) = 6, vế đề nghị của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng cùng với . Tất cả nghĩa ta buộc phải chứng minh:
Vậy (1) đúng vào lúc . Vì vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với tất cả số nguyên dương n.
Với n = 2: Vế trái của (1) = 4, vế buộc phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với . Tức là ta có:
Ta phải chứng tỏ (1) đúng với . Tất cả nghĩa ta yêu cầu chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng vào lúc . Cho nên vì vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương .
Với n = 2: Vế trái của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Tức là ta có:
Ta phải minh chứng (1) đúng cùng với . Gồm nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy ta có:
Vậy (1) đúng vào lúc . Cho nên vì thế theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với tất cả số nguyên dương .
Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1)
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng tỏ (1) đúng với . Bao gồm nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vì
Vậy (1) đúng vào khi . Cho nên vì vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương n.
Với n = 1: Vế trái của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng cùng với . Gồm nghĩa ta cần chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng vào lúc . Cho nên vì thế theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với đa số số nguyên dương n.
Với n = 1: Vế trái của (1)
Giả sử (1) đúng cùng với . Tức là ta có:
Ta phải minh chứng (1) đúng với . Có nghĩa ta buộc phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng vào lúc . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với tất cả số nguyên dương n.
Câu 2: chứng minh rằng ta có:
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
9).
10).
11). Minh chứng thì
12). Chứng minh
13).
Với ta có
Giả sử với thì phân chia hết mang đến 6.
Ta phải chứng minh với thì
Thật vậy ta có
Ta tất cả phân chia hết cho 6 theo bước 2,
Đặt
Ta gồm
Giả sử
Ta cần chứng tỏ
Thật vậy, ta gồm
Vậy với mọi số nguyên dương n thì phân chia hết mang đến 3.
Đặt
Ta tất cả
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy, ta gồm
Vậy với đa số số nguyên dương n thì phân chia hết mang lại 3.
Đặt
Ta bao gồm
Giả sử
Ta cần minh chứng
Thật vậy, khai triển rút gọn ta được
Vậy với tất cả số nguyên dương n thì chia hết đến 6.
Đặt
Với , ta tất cả
Giả sử
Ta cần minh chứng
Thật vậy ta tất cả
Vậy với đa số số nguyên dương n thì phân tách hết cho 6.
Đặt
Với , ta có
Giả sử
Ta cần minh chứng
Thật vậy ta bao gồm
Vì và
Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 9.
Đặt
Với , ta gồm
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy ta có
Vì và
Vậy với tất cả số nguyên dương n thì phân tách hết cho 9.
Đặt
Với , ta có
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy ta bao gồm
Vì và
Vậy với mọi số nguyên dương n thì phân tách hết mang lại 5.
Đặt
Với , ta tất cả
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy ta bao gồm
Vì
Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết mang lại 7.
Đặt
Với , ta có
Giả sử
Ta cần chứng minh
Thật vậy ta có
Vì
Vậy với đa số số nguyên dương n thì chia hết đến 133.
Đặt
Với , ta bao gồm
Giả sử
Ta cần minh chứng
Thật vậy ta gồm
Vì
Vậy với tất cả số nguyên dương n thì phân tách hết mang đến 225.
Đặt
Với , ta gồm
Giả sử
Ta cần chứng tỏ
Thật vậy ta gồm
Vì cùng
Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết mang lại 32.
Đặt
Với , ta tất cả
Giả sử
Ta cần chứng tỏ
Thật vậy ta tất cả
Vì
Vậy với đa số số nguyên dương n thì phân chia hết mang lại 169.
Với ,
Giả sử ta bao gồm
Ta cần chứng tỏ
Thật vậy,
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương
đặt
Với ta có
Giả sử cùng với thì (*) đúng, bao gồm nghĩa ta có:
Ta phải chứng minh (*) đúng với , tất cả nghĩa ta đề xuất chứng minh:
Thật vậy ta có:
Vậy
Suy ra (*) đúng với tất cả số nguyên dương .
Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, bao gồm nghĩa ta có:
Ta phải minh chứng (*) đúng cùng với , tất cả nghĩa ta yêu cầu chứng minh:
Thật vậy, nhân hai vế của (1) cùng với
Vậy (*) đúng cùng với . Do đó (*) đúng cùng với .
Với ta bao gồm (đúng). Vậy (*) đúng với .
Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có:
Ta phải chứng tỏ (*) đúng với , gồm nghĩa ta bắt buộc chứng minh:
Thật vậy, nhân nhị vế của (1) với
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương
Với ta gồm
Giả sử với thì (*) đúng, bao gồm nghĩa ta có:
Ta phải chứng minh (*) đúng cùng với , bao gồm nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy, nhân nhì vế của (1) cùng với 3 ta được:
Vì
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .
Với ta bao gồm
Giả sử với thì (*) đúng, gồm nghĩa ta có:
Ta phải chứng tỏ (*) đúng với , gồm nghĩa ta bắt buộc chứng minh:
Thật vậy, nhân nhị vế của (1) cùng với 2 ta được:
Với ta có
Giả sử cùng với
Ta phải chứng tỏ (*) đúng cùng với , bao gồm nghĩa ta nên chứng minh:
Thật vậy, nhân nhì vế của (1) cùng với 2 ta được:
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương
Xem thêm: Có Tài Mà Không Có Đức Là Người Vô Dụng Có Đức Mà Không Có Tài Thì Làm Việc Gì Cũng Khó
LỜI GIẢI
Đặt
Với n = 1 thì
Giả sử cùng với
Ta cần minh chứng với thì
LỜI GIẢI
Đặt
Ta có:
Giả sử:
Ta phải chứng tỏ cũng chính là số nguyên
Thật vậy ta gồm
