Bất đẳng thức và các ứng dụng

I. Tư tưởng bất đẳng thức cơ bản

1.1 Số thức dương, số thực âm

trường hợp a là số thực dương, ta kí hiệu a>0

giả dụ a là số thực âm, ta kí hiệu ab hoặc a

che định của mệnh đề a>0 làa≤0a≤0

lấp định của mệnh đề a

*
*
*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng(a−b)2≥0

*
*
*

Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Côsi)

*
*
*
*
*
*
*

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

*
*
*
*
*

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

*
*
*

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

*
*

Bài 1. Cho những số thực dương a, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2= 3.

Bạn đang xem: Công thức bất đẳng thức

Chứng minh rằng:

*
*

Đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi a = b = c = 1.

Ôn tập về Bất đẳng thức

1. Tư tưởng bất đẳng thức

– các mệnh đề dạng “ab” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả với bất đẳng thức tương đương

– nếu mệnh đề “a3. đặc thù của bất đẳng thức

° cùng hai vế của bất đẳng thức với 1 số:

a0: a bc

° cùng hai bất đẳng thức thuộc chiều

a0, c>0: a*: a2n+12n+1

– với n∈ N*và a>0: a2n2n

° Khai căn nhì vế của một bất đẳng thức

*

2. Các hệ trái của Bất đẳng máy Cô-si

° Hệ trái 1:Tổng của một số trong những dương cùng với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bởi 2.

*

Bất đẳng thức chứa dấu trị hay đối

Từ tư tưởng giá trị tốt đối, ta có đặc thù bất đẳng thức trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất như sau

° |x|≥ 0,|x|≥ x,|x|≥ -x

° cùng với a>0:

|x|≤ 0⇔ -a≤ x≤ a

|x|≥ a⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a

° |a| – |b|≤ |a + b|≤ |a| + |b|

Bài tập áp dụng Bất đẳng thức

* bài 1 trang 79 SGK Đại Số 10:Trong các khẳng định sau, xác minh nào đúng với đa số giá trị của x?

a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x

c) 8x2> 4x2; d) 8 + x > 4 + x

* Lời giải:

– Đáp án đúng:d) 8 + x > 4 + x

– bởi 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( đặc điểm cộng nhì vế của BĐT với cùng một số). Nên khẳng định d là đúng với đa số giá trị của x.

+ những đáp án không giống sai vì:

a) Ta có: 8 > 4 yêu cầu để 8x > 4x thì x > 0

– vì chưng đó, chỉ đúng lúc x > 0 (hay có thể nói rằng nếu x 8x thì x 5, số nào trong những số sau đó là số bé dại nhất?

A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.

* Lời giải:

– với mọi x ≠ 0 ta luôn luôn có: – 1

*

→ Vậy ta gồm C 22

2) Từ kia suy ra: a2+ b2+ c222

– vì a, b, c là độ nhiều năm 3 cạnh của một tam giác yêu cầu tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b với a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

– Ta có:(b – c)2– a2= (b – c – a)(b – c + a)

Do b c⇒ b + a – c > 0.

Suy ra:(b – c – a)(b – c + a) 2– a222

2)Từ hiệu quả câu 1) ta có

a2> (b – c)2

b2> (a – c)2

c2> (a – b)2

– cộng vế với vế ba bất đẳng thứctrênta có:

a2+ b2+ c2> (b – c)2+ (c – a)2+ (a – b)2

⇒ a2+ b2+ c2>b2– 2bc + c2+ c2– 2ca + a2+ a2– 2ab + b2

⇒ a2+ b2+ c2>2(a2+ b2+ c2) – 2(ab + bc + ca)

⇒ a2 + b2 + c2 3+ y3≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0

* Lời giải:

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3+ y3≥ x2y + xy2

⇔ (x3+ y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2– xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2≥ 0 (Luôn đúng vì chưng x + y ≥ 0 ; (x – y)2≥ 0)

Dấu “=” xẩy ra khi (x – y)2= 0 ⇔ x = y.

* bài xích 5 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng: 

*
*

+ Xét 0 ≤ t 33> 0 ; 1 – t > 0

t8– t5+ t2– t + 1 = t8+ (t2– t5) + (1 – t)= t8+ t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0

(vì t8≥ 0; t2≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3≥ 1 ⇒ t3– 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

Xem thêm: Sinh Học 9 Bài 19 Mối Quan Hệ Giữa Gen Và Tính Trạng, Giải Bài Tập Sinh Học 9

t8– t5+ t2– t + 1 = t5.(t3– 1) + t.(t – 1) + 1≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 50% > 0 hay

*

Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A với B đổi khác sao cho đường trực tiếp AB luôn luôn tiếp xúc với con đường tròn trung ương O bán kính 1. Xác minh tọa độ của A và B để đoạn AB bao gồm độ dài nhỏ tuổi nhất.