Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng chéo nhau vào hệ trục tọa độ không khí Oxyz và hướng dẫn vận dụng công thức giải một số trong những bài tập trắc nghiệm liên quan.

Bạn đang xem: Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCho hai tuyến đường thẳng chéo nhau $d_1$ cùng $d_2$ có phương trình: $d_1:left{ eginarray*20lx = x_1 + a_1t\y = y_1 + b_1t\z = z_1 + c_1tendarray ight.$ và $d_2:left{ eginarray*20lx = x_2 + a_2t’\y = y_2 + b_2t’\z = z_2 + c_2t’endarray ight.$ $left( t;t’ in R ight).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ cùng $d_2$ theo một trong các cách sau:Cách 1:

*

+ bước 1: xác minh các vectơ chỉ phương $vec a_1$ của $d_1$, $vec a_2$ của $d_2.$+ bước 2: khẳng định các điểm $M_1 in d_1$, $M_2 in d_2.$+ Bước 3: cơ hội đó $dleft( d_1;d_2 ight)$ $ = fracleft left< vec a_1,vec a_2 ight> ight.$Cách 2:

*

+ cách 1: hotline $H in d_1$, $K in d_2$ (lúc này $H$, $K$ tất cả toạ độ dựa vào ẩn $t$, $t’$).+ bước 2: xác định $H$, $K$ dựa vào:$left{ eginarray*20lHK ot d_1\HK ot d_2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec a_1 = 0\overrightarrow HK .vec a_2 = 0endarray ight..$+ cách 3: cơ hội đó: $dleft( d_1;d_2 ight) = HK.$Nhận xét: trong tương đối nhiều bài toán yêu mong viết phương trình con đường vuông góc chung thì nên cần sử dụng biện pháp 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNGVí dụ 1: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo cánh nhau.Cách 1: (Tính độ lâu năm đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta bao gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ với $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc bình thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = sqrt 3 .$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleftleft = sqrt 3 .$Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt nằm trong $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ cùng $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính độ lâu năm ngắn duy nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 3 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo cánh nhau. Độ lâu năm ngắn độc nhất vô nhị của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ với $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = frac overrightarrow AB .left< vec u_1,vec u_2 ight> ightleft = sqrt 3 $ $ Rightarrow MN_min = sqrt 3 .$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt mong có phân phối kính nhỏ nhất với đồng thời tiếp xúc với hai tuyến phố thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = 3.$B. $left( x + frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + left( z + frac32 ight)^2 = frac34.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Rightarrow $ mặt cầu buộc phải tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$Đường trực tiếp $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ cùng $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc phổ biến của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow HK = sqrt 3 .$Mặt cầu yêu cầu tìm gồm tâm $Ileft( frac32;frac12;frac32 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = fracsqrt 3 2$ bao gồm phương trình: $(S):left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $vec u(1;a;b)$ $(a;b in R)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ cùng $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính tổng $S = a + b.$A. $S=2.$B. $S=-2.$C. $S=4.$D. $S=-4.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).Đường trực tiếp $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ với $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc phổ biến của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1).$Đường vuông góc chung bao gồm vectơ chỉ phương dạng $moverrightarrow HK $ $(m in R,m e 0)$, từ giả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Cách 2:Đường trực tiếp $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Do $vec u(1;a;b)$ là một trong vectơ chỉ phương của mặt đường vuông góc phổ biến của hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ suy ra:$left{ eginarray*20lvec u.vec u_1 = 0\vec u.vec u_2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l – 1 + 2a – b = 0\2 – a – b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 1\b = 1endarray ight.$ $ Rightarrow vec u = (1;1;1).$Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai tuyến đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz + 1 – 2.$D. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;1; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4;2;1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 1 – t\y = t\z = 1 – tendarray ight.$ cùng $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 2 + 4k\y = – 1 + 2k\z = – 1 + kendarray ight..$Gọi $H(1 – t;t;1 – t) in Delta _1$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1; – 1; – 2).$Đường vuông góc chung đề xuất tìm là con đường thẳng qua $H(1;0;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1; – 1; – 2)$, tất cả phương trình: $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ nhiều năm đoạn vuông góc chung).Đường trực tiếp $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = 3.$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường trực tiếp $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac = 3.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$C. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz + 12.$D. $fracx – 11 = fracy – 22 = fracz – 22.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo cánh nhau.Đường trực tiếp $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ cùng $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc thông thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2).$Đường vuông góc chung cần tìm là con đường thẳng qua $H(2;1;1)$ và bao gồm một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1;2;2)$, tất cả phương trình: $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là những điểm bất kể lần lượt trực thuộc $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ với $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$ Tính độ lâu năm ngắn duy nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $3.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau. Độ nhiều năm ngắn duy nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac = 3$ $ Rightarrow MN_min = 3.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 9: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có cung cấp kính nhỏ dại nhất cùng đồng thời tiếp xúc với hai tuyến đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$B. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$C. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac92.$D. $left( x + frac52 ight)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo cánh nhau. Hotline $HK$ là đoạn vuông góc thông thường của $Delta _1$ và $Delta _2$, suy ra mặt cầu buộc phải tìm là mặt cầu có 2 lần bán kính $HK.$Đường trực tiếp $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc phổ biến của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow HK = 3.$Mặt cầu cần tìm bao gồm tâm $Ileft( frac52;2;2 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = frac32$ gồm phương trình: $(S):left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$Chọn đáp án B.

Xem thêm: Bài Tập Tiếng Anh Nâng Cao Lớp 7 Tiếng Anh, Bài Tập Nâng Cao Lớp 7 Tiếng Anh

Ví dụ 10: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai con đường thẳng $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 41$ và trục $Oy.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta $ cùng $Oy$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta $ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_Delta = (2;1; – 1).$Đường thẳng chứa trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $vec u = (0;1;0).$Chọn $O(0;0;0) in Oy$, $A(1;0; – 4) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow OA = (1;0; – 4).$Lúc đó: $d = fracleftleft = frac7sqrt 5 5.$Chọn giải đáp C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình con đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, Delta_2: fracx-12=fracy-1=fracz-1-1A. $fracx – 11 = fracy – 12 = fracz – 11.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx + 11 = fracy1 = fracz + 11.$D. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 11.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là các điểm bất cứ lần lượt thuộc $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$ cùng $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$ Tính độ nhiều năm ngắn tốt nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 6 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Câu 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt mong có bán kính nhỏ nhất và đồng thời xúc tiếp với hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac34.$B. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Câu 5: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là những điểm bất kỳ lần lượt nằm trong $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 4 – 1$ và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn tốt nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $frac7sqrt 5 5.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac2sqrt 5 5.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai mặt đường thẳng $Delta :fracx + 11 = fracy – 2 = fracz + 22$ và trục $Oz.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = frac2sqrt 5 5.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang lại tứ diện $ABCD$ cùng với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai tuyến đường thẳng $AC$ cùng $BD.$A. $d = frac2sqrt 11 11.$B. $d = fracsqrt 51 51.$C. $d = frac8sqrt 51 51.$D. $d = frac2sqrt 15 11.$

Câu 8: cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy cùng $SA=2.$ call $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của những cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai tuyến phố thẳng $CM$ và $AN.$A. $d = frac2sqrt 6 3.$B. $d = fracsqrt 6 3.$C. $d = fracsqrt 6 6.$D. $d = fracsqrt 2 2.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa đường trực tiếp $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ cùng mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$

Câu 10: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ với mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ dại nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$