Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần nắm vững, những dạng bài xích tập và câu hỏi có tài năng xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có giới hạn là số thực (L) nếu (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Đề cương ôn tập học kỳ ii môn toán lớp 11

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) và (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) trường hợp (u_n ge 0) với đa số (n) thì (L ge 0) với (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) cùng (c) là một trong những hằng số. Khi đó:

i) những dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) có số lượng giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) trường hợp (M e 0) thì hàng số (left( fracu_nv_n ight)) có giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số hàng số có giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) nếu như (left| q ight| Chú ý: Định lý bên trên vẫn đúng cho trường thích hợp (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các quy tắc tìm số lượng giới hạn vô rất của hàm số

+) trường hợp (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng K và (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là liên tiếp tại (x_0) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số đa thức liên tiếp trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác thường xuyên trên từng khoảng của tập khẳng định của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, yêu mến của nhì hàm số liên tục tại (x_0) là đều hàm số tiếp tục tại (x_0) (trường thích hợp thương thì mẫu nên khác 0 tại (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tiếp trên (left< a;b ight>) với f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc đã học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số đề nghị tính có một trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta đề nghị khử dạng đó, bởi cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản cầu hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân tách cả tử và mẫu đến xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- nếu như tử, chủng loại là phần đa đa thức thì ta đặt thừa số (left( x - x_0 ight)) có tác dụng nhân tử tầm thường và rút gọn nhân tử này ta sẽ gửi được số lượng giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử xuất xắc mẫu gồm chứa căn thức thì nhân tử và mẫu mã với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và mẫu mã ta sẽ đưa được số lượng giới hạn về dạng xác định.

Cần để ý các công thức biến đổi sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ trường hợp PT f(x) = 0 bao gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ phối hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- chia cả tử và mẫu mang đến xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu.

- sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương cùng giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- ví như (x o x_0) thì ta quy đồng chủng loại số để mang về dạng (frac00).

Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân tách với lượng liên hợp để mang về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần tiến hành một số chuyển đổi như đưa thừa số vào trong vết căn, quy đồng mẫu mã số,...ta hoàn toàn có thể đưa giới hạn đã đến về dạng quen thuộc thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) và q = ( - frac110).

Xem thêm: Văn 12 Nghị Luận Về Một Tư Tưởng Đạo Lí (Trang 20), Soạn Văn Hay: Nghị Luận Về Một Tư Tưởng, Đạo Lí

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tiếp của hàm số

3.1 Xét tính liên tiếp của hàm số tại điểm:

- Dạng I: đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính liên tiếp của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL thường xuyên tại x0

- Dạng II: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính tiếp tục của h/s trên những khoảng đơn

B2: Xét tính liên tiếp của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm đk của tham số để hàm số liên tục tại x0

Phương pháp chung:

B1: tra cứu TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để minh chứng phương trình bao gồm nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT bao gồm nghiệm trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: kết luận về số nghiệm của PT bên trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) tiếp tục trên R nên f(x) thường xuyên trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)