Giải Bài Tập Toán 12 Bài 5: Phương Trình Mũ

Nội dung bài bác học trình làng đến các em những phương thức giải phương trình mũ với phương trình lôgarit như đem về cùng cơ số, nón hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng đặc điểm hàm số. Thông phần đa ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em những bước đầu tiên biết bí quyết giải phương trình mũ cùng lôgarit.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 bài 5: phương trình mũ

1. Video clip bài giảng

2. Nắm tắt lý thuyết

2.1. Các cách thức giải phương trình mũ

2.2. Các phương thức giải phương trình lôgarit

3. Bài tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 5 Chương 2 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm vềPhương trình mũ với phương trình lôgarit

4.2 bài xích tập SGK và cải thiện về Phương trình mũ và phương trình lôgarit

5. Hỏi đáp về bài 5 Chương 1 Toán 12

Với(0 b) cách thức lôgarit hóa

Với(0 c) cách thức đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt ẩn mang về phương trình theo 1 ẩn mớiDạng 1:(a.m^2f(x)+b.m^f(x)+c=0)Đặt(t=m^f(x) (t>0))Ta có:(a.t^2+b.t+c=0)Dạng 2:(a.m^f(x)+b.n^f(x)+c=0)trong đó(m.n=1)Đặt(t=n^f(x)Rightarrow m^f(x)=frac1t (t>0))Ta có:(a.frac1t + b.t + c = 0 Leftrightarrow a + b.t^2 + c.t = 0 Leftrightarrow b.t^2 + ct + a = 0).Dạng 3:(a.m^2f(x)+b.m^f(x).n^g(x)+c.n^2g(x)=0)Chia 2 vế cho(n^2g(x))ta có:(a.left (fracm^2f(x)n^2g(x) ight )^2+b.left (fracm^f(x)n^g(x) ight )^2+c=0)Đặt(t=fracm^f(x)n^g(x))Ta có(a.t^4+b.t^2+c=0).Kiểu 2:Đặt 1 ẩn, nhưng lại không làm mất đi ẩn ban đầu. Lúc đóXem ẩn đầu là tham sốĐưa về phương trình tíchĐưa về hệ phương trìnhKiểu 3:Đặt những ẩn. Khi đóĐưa về phương trình tíchĐưa về hệ phương trìnhd) cách thức hàm sốXét hàm số(y=a^x):Nếu (a>1):(y=a^x)đồng trở nên trên(mathbbR.)Nếu (0Tổng của nhì hàm số đồng biến hóa (NB) trên D là hàm số đồng vươn lên là (NB) trên D.Tích của nhì hàm số đồng vươn lên là và nhận cực hiếm dương trên D là hàm số đồng thay đổi trên D.Cho hàm số(f(x))và(g(x)), nếu:(f(x))đồng biến trên D.(g(x))​nghịch biến đổi trên D.

⇒ (f(x)-g(x))đồng đổi thay trên D.

2.2. Các cách thức giải phương trình lôgarit

Ví dụ:Giải phương trình (left( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x)

Ta có:

(eginarraylleft( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x\ Leftrightarrow 2^ - 2x + 1 = 2^3x\ Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\ Leftrightarrow 1 = 5x\ Leftrightarrow x = frac15endarray)

b) phương thức mũ hóa

Với(0

Các nội dung yêu cầu nhớ:

1. Giải phương trình mũ

Giải các phương trình nón sau (Đưa về cùng cơ số):

a)(2^x^2 + 3x - 2 = frac14)

b)(left( frac34 ight)^x - 1.sqrt left( frac43 ight)^frac8x = frac916)

a)(2^x^2 + 3x - 2 = frac14 Leftrightarrow 2^x^2 + 3x - 2 = 2^ - 2)

(Leftrightarrow x^2 + 3x - 2 = - 2 Leftrightarrow x^2 + 3x = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - 3 endarray ight.)

Vậy phương trình tất cả hai nghiệm x=0 với x=-3.

b)(left( frac34 ight)^x - 1.sqrt left( frac43 ight)^frac8x = frac916)

(eginarrayl Leftrightarrow left( frac34 ight)^x - 1.left( frac43 ight)^frac4x = left( frac34 ight)^2\ Leftrightarrow left( frac34 ight)^x - 1.left( frac34 ight)^ - frac4x = left( frac34 ight)^2 endarray)

(Leftrightarrow x - 1 - frac4x = 2 Leftrightarrow left< eginarrayl x_1 = - 1\ x_2 = 3 endarray ight. Rightarrow x_1 + x_2 = 3).

Giải phương trình(3^x.2^x^2 = 1)(Dùng cách thức lôgarit hóa)

Lấy logarit nhị vế với cơ số 3, ta được:

(3^x.2^x^2 = 1 Leftrightarrow log _3(3^x.2^x^2) = log _31)

(Leftrightarrow x + x^2log _32 = 0 Leftrightarrow xleft( 1 + xlog _32 ight) = 0)

(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ 1 + xlog _32 = 0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - frac1log _32 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - log _23 endarray ight.)

Vậy phương trình có nghiệm:(x = 0,x = - log _23).

Giải những phương trình mũ sau (Dùng phương thức đặt ẩn phụ)

a)(3.25^x - 2.5^x + 1 + 7 = 0)

b)(4^x^2 + x + 2^1 - x^2 = 2^(x + 1)^2 - 1)

a) Phương trình(Leftrightarrow 3.25^x - 10.5^x + 7 = 0). Đặt(t = 5^x,left( t > 0 ight))

Khi kia phương trình trở thành:(3t^2 - 10t + 7 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl t = 1\ t = frac73 endarray ight.)

(*) Với(t = 1 Rightarrow 5^x = 1 Leftrightarrow x = 0)

(*) Với(t = frac73 Rightarrow 5^x = frac73 Leftrightarrow x = log _5left( frac73 ight))

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm:(S = left 0;log _5left( frac73 ight) ight\).

b) Đặt:(left{ eginarrayl u = 4^x^2 + x\ v = 2^1 - x^2 endarray ight.,,u,v > 0)

Nhận xét:(u.v = 4^x^2 + x.2^1 - x^2 = 2^2(x^2 + x).2^1 - x^2 = 2^(x + 1)^2)

Khi kia phương trình tương đướng với:

(u + v = uv + 1 Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl u = 1\ v = 1 endarray ight.)

(Leftrightarrow left< eginarrayl 4^x^2 + x = 1\ 2^1 - x^2 = 1 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x^2 + x = 0\ 1 - x^2 = 0 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = 1\ x = - 1 endarray ight.).

a)(x + 2.3^log _2x = 3)

b)(2^x - 1 - 2^x^2 - x = (x - 1)^2)

a) Điều kiện:(x>0)

(x + 2.3^log _2x = 3 Leftrightarrow 2.3^log _2x = 3 - x)(*)

Nhận xét:

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là 1 trong những hàm số đồng biến.

Do vậy ví như phương trình có nghiệm thì chính là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy:(x=1)là nghiệm của phương trình (*).

Vậy (x=1)là nghiệm nhất của phương trình.

b) Ta có:((x - 1)^2 ge 0 Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 ge 0 Leftrightarrow x^2 - x ge x - 1)

Suy ra:(2^x^2 - x ge 2^x - 1 Leftrightarrow 2^x - 1 - 2^x^2 - x le 0)(Do hàm số(y=2^t)đồng biến)

Vậy:(left{ eginarrayl VT le 0\ VP ge 0 endarray ight.)

Mà:(VT=VP)

Suy ra:(VT=VP=0)(Rightarrow left{ eginarrayl (x - 1)^2 = 0\ 2^x - 1 = 2^x^2 - x endarray ight. Leftrightarrow x = 1)

Vậy phương trình gồm nghiệm duy nhất(x=1.)

2. Giải phương trình lôgarit

Giải phương trình (log _3(9^50 + 6x^2) = log _sqrt 3 (3^50 + 2x))(Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện:(3^50 + 2x > 0), khi ấy ta có:

(log _3left( 9^50 + 6x^2 ight) = log _sqrt 3 left( 3^50 + 2x ight) Leftrightarrow log _3left( 9^50 + 6x^2 ight) = log _3left( 3^50 + 2x ight)^2)

(eginarrayl Leftrightarrow 9^50 + 6x^2 = left( 3^50 + 2x ight)^2\ Leftrightarrow 9^50 + 6x^2 = 9^50 + 2.2x.3^50 + 4x^2\ Leftrightarrow 2x^2 - 4x.3^50 = 0\ Leftrightarrow 2x(x - 2.3^50) = 0\ Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 2.3^50 endarray ight. endarray)

Giải phương trình(log _x^2 - 1left( 2sqrt 2 ight) = frac12)(Dùng phương pháp mũ hóa)

Điều kiện:(left{ eginarray*20l x^2 - 1 > 0\ x^2 - 1 e 1 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20l x 1\ x e pm sqrt 2 endarray ight.)

(eginarrayl log _x^2 - 1left( 2sqrt 2 ight) = frac12 Leftrightarrow 2sqrt 2 = left( x^2 - 1 ight)^frac12 = sqrt x^2 - 1 \ Leftrightarrow x^2 - 1 = 8 Leftrightarrow x = pm 3. endarray)

Vậy phương trình bao gồm hai nghiệm x=3 với x=-3.

Xem thêm: Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Unit 9 Cities Of The World Nâng Cao, Unit 9: Cities Of The World

Giải phương trình (log _frac12^2x + 2log _sqrt 2 x = 5)(Đặt ẩn phụ)

(eginarrayl log _frac12^2x + 2log _sqrt 2 x = 5 Leftrightarrow m< - log _2x m>^2 + 4mathop m log_2x olimits = 5\ Leftrightarrow log _2^2x + 4log_2 x = 5 endarray)

Đặt:(t = log _2x.)Phương trình trở thành:

(t^2 + 4t - 5 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl t = - 5\ t = 1 endarray ight. Rightarrow left< eginarray*20c log _2x = - 5\ log _2x = 1 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 2^ - 5\ x = 2 endarray. ight.)

Vậy phương trình tất cả hai nghiệm: (x=2)và(x=frac132).

Giải phương trình(log _2(x^2 - 4) + x = log _2left< 8(x + 2) ight>)(Dùng cách thức hàm số)

Điều kiện:(left{ eginarrayl x^2 - 4 > 0\ x + 2 > 0 endarray ight. Leftrightarrow x > 2.)

Khi đó:(eginarrayl log _2(x^2 - 4) + x = log _2left< 8(x + 2) ight>\ Leftrightarrow log _2(x^2 - 4) - log _2(x + 2) = 3 - x\ Leftrightarrow log _2fracx^2 - 4x + 2 = 3 - x\ Leftrightarrow log _2left( x - 2 ight) = 3 - x endarray)