Bài giảng Toán cao cấp 1 Toán cao cấp 1 dạng đại số của số phức dạng lượng giác của số phức Dạng mũ của số phức Nâng số phức lên lũy thừa Khai căn số phức


Bạn đang xem: Giải phương trình số phức toán cao cấp

*
doc

Đề thi hết môn Toán 1 - ĐH Kinh tế Kỹ thuật Công nghiệp


*
pdf

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5a - Nguyễn Văn Tiến


*
pdf

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến




Xem thêm: Vì Sao Phải Xây Dựng Nền Văn Hóa Tiên Tiến Đậm Đà Bản Sắc Dân Tộc

Nội dung

Chương 0 Số phức--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Dạng đại số của số phức0.2 – Dạng lượng giác của số phức0.3 – Dạng mũ của số phức0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa0.5 – Khai căn số phức0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 0.1 Dạng đại số của số phức-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là mộtsố âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x2 = -1.Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo.Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọnđể ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1.Định nghĩa số iSố i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao choi2 = -1 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa số phứcCho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đóz = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi làphần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z.Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu chob = 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực kháckhông được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những sốthuần ảo.Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại sốcủa số phức z. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa sự bằng nhauHai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực vàphần ảo tương ứng bằng nhau.Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằngnhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2.Ví dụCho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i.Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2.Giải2 mz1 z2  2  3i m  3i   m 2 3 3 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức.Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đóPhép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) iPhép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) iVí dụTìm phần thực và phần ảo của số phứcz = (3 + 5i) + (2 - 3i).Giảiz = (3 + 5i) + (2 - 3i) = (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. Re(z ) 5; Im(z ) 2. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa phép nhân hai số phức.Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đóz1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)iVí dụTìm dạng đại số của số phứcz = (2 + 5i).(3+ 2i)Giảiz = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i= 6 + 4i + 15i + 10 i2 = 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19iVậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Cộng, trừ, nhân hai số phức:Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực vàphần ảo tương ứng.Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểuthức đại số với chú ý i2 = −1. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa số phức liên hợpSố phức z a  biphức z = a + bi.được gọi là số phức liên hợp của sốVí dụ.Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i).Giải.z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i.Vậy số phức liên hợp là z 14  8i. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Tính chất của số phức liên hợpCho z và w là hai số phức; z vàtương ứng. Khi đó:1. z  z là một số thực.wlà hai số phức liên hợp2. z z là một số thực.3. z z khi và chỉ khi z là một số thực.4. z  w z  w5. z w z w6. z z7. z n ( z ) n với mọi số tự nhiên n 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Phép chia hai số phức.z1 a1  ib1z2 a2  ib2z1 (a1  ib1 )(a2  ib2 )z2 (a2  ib2 )( a2  ib2 )z1 a1a2  b1b2b1a2  a2b1 2i 2 22z2a2  b2a2  b2Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liênhợp của mẫu. (Giả sử z2 0 ) 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Ví dụ.Thực hiện phép toán3  2i5 iGiải.3  2i (3  2i )(5  i )5 i(5  i )(5  i )Nhân tử và mẫu cho sốphức liên hợp của mẫu là5 + i.15  3i  10i  2i 225  113  13i 1 1  i262 2Viết ở dạng Đại số 0.1 Dạng Đại số của số phức------------------------------------------------------------------Lưu ý: So sánh với số phức.Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói mộtcách khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 vàz2= a2 + ib2 như trong trường số thực. Biểu thức z1 0, cho n là số tự nhiên. Khi đón r n (cos n  i sin n ) 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa----------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:a)c)(1 + i)25b)( 1  i 3) 200( 3 i)17( 122i)20Giải.a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giácz 1  i  2 (cos  i sin )44Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s: 2525252525z < 2 (cos  i sin )> ( 2 ) (cos i sin)44442512z22(cosisin)Bước 3. Đơn giản4 4  0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa căn bậc n của số phứcCăn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z,trong đó n là số tự nhiên.z a  bi r (cos   i sin  )2k 2knnnzr(cosisin)zr(cosisin)kn nvới k = 0, 1, 2, …, n – 1.Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệmlên trên mặt phẳng phức.16i483c)b) 3  ia) 81 id) 61i3 ie) 5  12if)1  2iGiải câu a)b) Viết số phức ở dạng lượng giác:8 8(cos 0  i sin 0)Sử dụng công thức:3 8(cos 0  i sin 0)  z 2(cos 0  2k  i sin 0  2k )k3k 0,1, 2.3 0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Giải câu b)b) Viết số phức ở dạng lượng giác:3  i 2(cos  i sin )66Sử dụng công thức: 2 k 2 k64 2(cos  i sin )  z 4 2(cos 6isin)k6644k 0,1, 2,3. z1 z0 z2 z3 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855)chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.Số nghiệm của một đa thứcĐa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm củaphương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thếnào.Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quantrọng sau đâyHệ quảNếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ sốthực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+ilàm nghiệm.2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+ilàm nghiệm.1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.2) Đa thức cần tìm là:P (z ) (z  z1)(z  z1)(z  z2)(z  z2)P (z ) (z  3i )(z  3i )(z  (2  i ))(z  (2  i ))P (z ) (z 2  9)(z 2  4z  5) 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)Tìm tất cả các nghiệm của P( z )  z 4  4 z 3  14 z 2  36 z  45biết 2 + i là một nghiệm.Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm,theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm.P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) == z2 – 4z + 5P(z) có thể ghi ở dạngP(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụGiải phương trình sau trong C.z 9  i 0z 9  i  z 9  i  z  9 cos i sin22 k 2 k 2 zk cos 2 i sin 299k 0,1,...,8. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C.a)z 5  1  i 0b) z 2  z  1 0c) z 4  z 2  2 0d) z 2  2 z  1  i 0Giải. Giải phương trìnhBước 1. TínhBước 2. TìmBước 3.az 2  bz  c 0 b 2  4ac2b4ac1,2bb12z;z12a2 2a Kết luận--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Dạng Đại số của số phứcz a  bi2. Dạng Lượng giác của số phứcz r (cos   i sin  )3. Nâng lên lũy thừaz n n r n (cos n  i sin n )4. Căn bậc n của số phức2k2knn nzr(cosisin)zr(coisi)kn nk 1,2,3,..., n  1.