Bài viết này xin reviews đôi chút về “hàng điểm điều hòa”- một giải pháp tương đối

mạnh và cuốn hút trong giải toán hình học tập phẳng .Để chúng ta dễ theo dõi tôi xin trình bày

lại một trong những lí thuyết cơ phiên bản nhất của phép tắc này:




Bạn đang xem: Hàng điểm điều hòa

*
29 trang
*
ngochoa2017
*
*
2457
*
0Download
Bạn vẫn xem 20 trang mẫu mã của tài liệu "Hàng điểm ổn định - Vẻ đẹp sexy nóng bỏng trong hình học", để cài đặt tài liệu gốc về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Hiện Tượng Khúc Xạ Ánh Sáng Lớp 9, Vật Lý Lớp 9

Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp gợi cảm trong hình học tập Kim Luân nội dung bài viết này xin giới thiệu đôi chút về “hàng điểm điều hòa”- một công cụ kha khá mạnh và lôi cuốn trong giải toán hình học phẳng .Để các bạn dễ quan sát và theo dõi tôi xin trình diễn lại một số lí thuyết cơ phiên bản nhất của chế độ này: I.Căn cơ nội lực : a. Hàng điểm điều hoà: Định nghĩa: bên trên một mặt đường thẳng ta lấy tứ điểm . Lúc đó ta gọi là một hàng điểm cân bằng nếu nó thỏa mãn hệ thức sau: , , ,A B C D , , ,A B C DDA CADB CB= − (1) Kí hiệu: ( , , , ) 1A B C D = −A DBCSau đó là một số định định lí quan liêu trọng cần phải biết trong bài viết này(được suy thẳng từ định nghĩa): *Định lí 1:(Hệ thức Niutơn) mang lại . Hotline N là trung điểm của AB. Khi đó ( , , , ) 1A B C D = − 2 2 .NA NB NC ND= = (2) A DBCN*Nhận xét: thực tế (1) cùng (2) là tương đương nên giả dụ 4 điểm A,B,C,D thỏa mãn (2) thì ta cũng đều có điều trái lại là ( , , , ) 1A B C D = − . Định lí này và tư tưởng là hai lốt hiệu thông dụng nhất để chứng minh 4 điểm là 1 hàng điểm điều hòa. Vụ việc để minh chứng một mặt hàng điểm là vấn đề hòa xem như đã được giải quyết, vậy lúc đã bao gồm một mặt hàng điểm điều hòa rồi thì ta chiếm được gì? câu hỏi này sẽ tiến hành giải đáp qua nhị định lí quan trọng đặc biệt sau: *Định lí 2: đến . đem O làm thế nào để cho OC là phân giác vào của ( , , , ) 1A B C D = − AOB∠ thì OD là phân giác bên cạnh của . AOB∠A DOBC*Nhận xét: Từ đó suy ra vì vậy định lí này có ý nghĩa thực sự đặc trưng trong đa số bài chứng minh vuông góc. 090COD∠ =Mặt khác cũng có thể có điều trái lại tức giả dụ ∠ thì OC là phân giác trong cùng OD là phân giác xung quanh của điều này có ý nghĩa sâu sắc quan trọng cho đều bài chứng minh yếu tố phân giác. 090COD =AOB∠Định lí 3: đến và điểm O nằm ngoài hàng điểm cân bằng trên. Một mặt đường thẳng d cắt cha tia OC,OB, OD thứu tự tại E,I và F. Khi ấy I là trung điểm của EF khi còn chỉ khi d tuy nhiên song cùng với OA. ( , , , ) 1A B C D = −IFEBCODA*Nhận xét: Định lí này siêu có chân thành và ý nghĩa đối với những bài toán chứng tỏ trung điểm và tuy nhiên song. Một câu hỏi bé dại là phù hợp các mặt hàng điểm ổn định này là hết sức hiếm, thiệt ra không hẳn như vậy, chỉ cần phải có một mặt hàng điểm ổn định thì ta rất có thể “sinh sôi nảy nở” ra một loạt nhưng mặt hàng điểm điều hòa bé con, các các bạn sẽ hiểu rõ điều bên trên qua định lí về “chùm điều hòa” dưới đây : b.Chùm điều hòa: A DOBCĐịnh nghĩa: đến hàng điểm điều hòa ( , , , ) 1A B C D = − cùng O nằm ngoài hàng điểm ổn định trên. Lúc ấy ta call 4 tia OA,OB,OC,OD là 1 chùm cân bằng và kí hiệu ( . , , , ) 1OA OB OC OD = −Định lí chùm điều hòa: cho .Một đường thẳng d bất kì cắt những cạnh OA,OB,OC,OD theo thứ tự tại E,F,G,K lúc đó ta tất cả (( , , , ) 1OA OB OC OD = −, , , ) 1E F G K = − KFGADOBCE*Nhận xét: Qua định lí trên bạn có thể thấy xuất phát từ một hàng điểm điều hòa ban sơ sẽ “sinh sôi” vô số chùm cân bằng xung quanh(cứ một điểm ngoài hàng điểm ổn định nói bên trên sẽ cho ta một chùm ổn định tương ứng). Và cứ mỗi chùm điều hòa do đó lại đến ta vô số mặt hàng điểm cân bằng nữa. Mà chỉ cần một trong số chúng phối kết hợp khéo léo với các định lí nhì và bố sẽ cho ra rất nhiều bài hình học hiểm ác với sự biến đổi ảo không thể đoán trước Từ định lí này kết phù hợp với các định lí 2 và 3 đến ta một trong những hệ quả sau: Hệ quả 1: mang lại chùm ổn định ( , , , ) 1Ox Oy Oz Ot = − khi ấy nếu góc thì Oz là phân giác trong của góc xOy cùng Ot là phân giác quanh đó xOy 090zOt =Oztyx*Nhận xét: vớ nhiên cũng đều có điều trái lại tức nếu tất cả Oz là phân giác trong hoặc Ot là phân giác quanh đó thì góc zOt=90 độ còn mặt khác nếu 4 tia Ox,Oy,Oz,Ot bất cứ mà bao gồm góc zOt=90 độ và Oz,Ot lần lượt là phân giác trong với phân giác ngoài của xOy thì ( , , , )Ox Oy Oz Ot 1= − . Đây là 1 trong những dấu hiệu đặc biệt quan trọng để minh chứng 4 tia xuất phát điểm từ một đỉnh là 1 trong chùm điều hòa. Hệ trái 2: mang lại chùm điều hòa ( , , , ) 1Ox Oy Oz Ot = − một đường thẳng d bất kì cắt Oz,Ot,Oy theo thứ tự tại A,B,I khi ấy d tuy vậy song Ox khi và chỉ khi I là trung điểm của AB. AdBIOztyx*Nhận xét: cũng đều có điều trái lại tức nếu như d tuy vậy song Ox cùng I là trung điểm của AB thì . Đây cũng là 1 trong những dấu hiệu đặc biệt quan trọng để chứng minh 4 tia bắt nguồn từ một đỉnh là 1 trong chùm điều hòa. ( , , , )Ox Oy Oz Ot = −1Nhân phía trên tôi xin trình diễn thêm một chiếc nữa cũngđiều hòa c.Tứ giác điều hòa: Định nghĩa: Tứ giác ABCD được gọi là 1 trong những “tứ giác điều hòa” ví như nó thỏa mãn hệ thức sau: AB CBAD CD= Định lí về tứ giác điều hòa: cho đường tròn (O) với một điểm A nằm quanh đó (O). Từ bỏ A ta kẻ hai tiếp con đường AB,AC với kẻ một cát tuyến AMN bất kì. Chứng tỏ rằng BMCN là 1 tứ giác điều hòa(hình vẽ) NMBAC(gợi ý: sử dụng tam giác đồng dạng nhằm suy ra điều phải chứng tỏ từ đ/n) *Nhận xét: +Cũng có điều trái lại tức nếu như MBNC là tứ giác cân bằng thì tiếp tuyến tại B,tiếp con đường tại C với MN đồng quy trên một điểm +Tứ giác điều hòa tất cả một mọt quan hệ tuyệt vời và hoàn hảo nhất với chùm ổn định mà các bạn sẽ hiểu rõ sau thời điểm đọc hết phần cuối của bài viết này. Việc chứng minh các định lí trên là rất đơn giản dễ dàng nên xin dành riêng lại cho mình đọc(nếu có thắc mắc gì sẽ thảo luận thêm). Sau đây bọn họ sẽ điều tra khảo sát một vài việc để phát hiện phần nào về vẻ rất đẹp và sức mạnh của công cụ vừa dẫn. II.Một số bài toán minh họa: bọn họ sẽ bắt đầu bằng một việc cơ bản nhưng rất quan trọng sau: việc 1: mang lại tam giác ABC. Lấy E bên trên BC, F trên AC với K bên trên AB làm sao để cho AE,BF,CK đồng quy trên một điểm. Khi đó nếu T là giao điểm của FK cùng với BC thì ( , , , ) 1T E B C = −Lời giải: FAKB CT ETrong tam giác ABC: +Áp dụng định lí Xêva với bố đường đồng quy AE,BF,CK ta có: . .EB FC KAEC FA KB= −1 (1) +Mặt khác áp định lí Mênêlaúyt với bố điểm thẳng hàng T,K,F lại đến ta: . .TC KB FATB KA FC=1 (2) Nhân (1) cùng (2) vế theo vế suy ra: TB EBTC EC= − Theo có mang thì ,đây chính là đpcm. ( , , , ) 1T E B C = −Bài toán 1.1: mang đến tam giác ABC và H là chân mặt đường cao kẻ từ bỏ A. Bên trên đoạn trực tiếp AH ta mang một điểm I bất kì rồi kẻ BI cắt AC tại E và CI giảm AB trên F.Chứng minh rằng AH là phân giác của EHF∠AB CHIFELời giải: Một bài toán dễ dàng và đơn giản nhưngkhó cho kinh ngạc, bạn phải làm những gì khi đối mặt với một bài như vậy? ??? Khi nói tới bài toán này tôi đột nhiên nhớ đến giải mã rất độc đáo và khác biệt của anh Hatucdao, một giải mã thực sự ấn tượng mạnh với tôi, yêu cầu xin được trích dẫn ngay tiếp sau đây để chúng ta được chiêm ngưỡng: “Kết quả là hiển nhiên khi tam giác ABC cân. Trả sử ABC không cân ta hoàn toàn có thể giả sử AC>AB .Dựng tam giác ABP cân nặng tại A với AP giảm HE trên Q. Call F’ là vấn đề đối xứng của Q qua AH. Khi ấy AH là phân giác của "EHF∠ với ""QA F AQB F B= Áp dụng định lí Mênêlaúyt mang đến tam giác ACP với cha điểm thẳng hàng H,Q,E ta có: ". . 1 . ."HP EC QA HB EC F AHC EA QB HC EA F B= ⇒ = −1 Theo định lí ceva đảo ta tất cả " đồng quy từ kia suy ra đpcm” , ,AH BE CFQAB CHF"EPMột viên ngọc không vết tích nhưng phải công nhận là tương đối khó nghĩ ra. Dẫu sao đi nữa thì vấn đề cảm nhấn vẻ đẹp mắt tinh túy của giải mã trên cũng giúp bọn họ thấm thía cùng quý trọng hơn đối với cách có tác dụng dưới đây, vì chưng điều đặc biệt hơn một lời giải, là nó mang đến ta thấy được căn cơ của vấn đề: FLIAB CKEHC2: Kẻ EF cắt BC tại K theo việc 1 ta tất cả ( , , , ) 1K H B C = − (1) điện thoại tư vấn L là giao điểm của EF với AH. Tự (1) suy ra ( , , , ) 1AK AH AB AC = − suy ra ( , , , ) 1K L F E = − (định lí chùm điều hòa) Vì đề xuất theo dấn xét trong định lí 2 ta có đpcm. 090LHK =*Nhận xét: vượt ngắn gọn phải không, tôi nghĩ rất rất có thể bài toán trên đang được đưa ra như vậy. Các chúng ta có thể thấy chỉ vài trở thành đổi nhỏ và một kĩ xảo để bít dấu điểm K đã để cho bài toán 1.1 trở cần cực khó. Tất yếu từ giải thuật này chúng ta có thể phát biểu việc tổng quát hơn như sau: việc 1.2:(đề thi Iran) mang lại tam giác ABC, lấy T,E,F thứu tự thuộc những đoạn BC,CA,AB làm thế nào cho 3 mặt đường thẳng AT,BE,CF đồng quy trên một điểm.Gọi L là giao điểm của AT và EF.Gọi H là hình chiếu của L xuống BC. Chứng minh rằng LH là phân giác của EHF∠ . FLAB CKETH(chứng minh tương tự như bài 1.1) *Nhận xét: Nói chung từ một hàng điểm điều hòa lúc đầu ta có thể “sinh sôi nảy nở” ra rất nhiều hàng điểm cân bằng khác mà một trong những chúng giả dụ kết phù hợp với các định lí 2 và 3 sẽ mang lại ta tương đối nhiều tính hóa học thú vị. Thí dụ các bài 1.1 và 1.2 là “sản phẩm” của định lí 2. Nếu mình muốn có thể áp dụng định lí 3 để “xuất khẩu” những thành phầm mới, ví dụ điển hình bài toán sau đây: việc 1.3: mang đến tam giác ABC, rước T,E,F theo lần lượt thuộc các đoạn BC,CA,AB sao cho 3 mặt đường thẳng AT,BE,CF đồng quy tại điểm I. Kẻ con đường thẳng qua I tuy nhiên song với TE và giảm TF,TB theo lần lượt tại M và L. Chứng minh rằng M là trung điểm của LI IAB CEFTLM(chứng minh: sử dụng đặc thù chùm ổn định như bài xích 1.1 rồi vận dụng định lí 3) Qua những thí dụ trên các bạn cũng có thể thấy từ 1 vấn đề người ta hoàn toàn có thể phát biểu dưới những phương pháp khác nhau, các cách mà khi gọi đề họ không hề thấy bất kỳ một tương tác gì từ bỏ chúng, cơ mà thực ra toàn bộ chúng đều bắt đầu từ một cội rễ. Chũm được gốc rễ có nghĩa là ta đã nạm được bài toán vậy. Tất nhiên từ vấn đề 1 sẽ sản xuất hiện cả một lớp các bài toán rộng lớn, tôi không có thời gian nêu thêm ra đây mà lại chỉ hi vọng chúng ta nếu chạm mặt một trong số đó sẽ mau lẹ cho nó “lộ rõ nguyên hình”. Bây giờ tôi xin lấn sân vào một không gian mới tương đối khác một chút với những cách khai quật đã nêu ngơi nghỉ trên nhằm giúp các bạn có một chiếc nhìn thâm thúy hơn cho câu hỏi 1. Tuy thế trước không còn tôi vẫn trang bị cho các bạn một số đặc điểm cần thiết, rồi sau đó bọn họ sẽ kiếm tìm cách contact với câu hỏi 1 sau. đặc điểm 1: mang đến tam giác ABCD nước ngoài tiếp đường tròn chổ chính giữa (O). M,N,P,Q theo thứ tự là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn; lúc ấy ta bao gồm MP,NQ,AC,BD đồng quy tại một điểm. Lời giải: Hạ //CE ABChú ý OMP OPM BMP CPM CE C∠ = ∠ ⇒∠ = ∠ ⇒ = PDo đó nếu hotline I là giao điểm của AC với MP thì ta có: IA AM AMIC EC PC= = (1) tương tự gọi "I là giao điểm của AC cùng với NQ thì ta cũng có: ""I A AQI C NC= (2) PAID teo NBMQEChú ý AM=AQ với PC=NC buộc phải từ (1) và (2) suy ra "I I≡ suy ra MP,NQ,AC đồng quy (3) Lập luận tựa như ta có MP,NQ,BD đồng quy (4) phối kết hợp (3) cùng (4) ta được đpcm. đặc thù 2: cho đường tròn (O). đem một điểm A ngoài đường tròn (O), từ bỏ A ta kẻ nhì tiếp đường AK,AN và một mèo tuyến ACD bất kì đối với đường tròn trên. Nhị tiếp đường qua C cùng D giảm nhau trên M. Khi đó ta gồm K,M,N thẳng hàng. Lời giải: ONAKMD CÁp dụng “định lí về tứ giác điều hòa” mang đến điểm A với nhị tiếp con đường AK,AN và cat tuyến ACD suy ra KCND là tứ giác điều hòa. Lại theo nhấn xét trong ”định lí về tứ giác điều hòa” suy ra NK,MD,MC đồng quy trên một điểm suy ra đpcm đặc điểm 3: đến tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q thứu tự là những tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với con đường tròn. Chứng minh rằng MQ,NP và DB đồng quy trên một điểm. PD CONBAKQMLời giải: hotline K là giao điểm của QM với DB Áp dụng định lí Mênêlaúyt cho tam giác ABD với cha ... G hợp này còn có còn là một trong công cụ hiệu lực ? Đây là một câu hỏi lớn bộc lộ một giải pháp là táo bạo hay yếu! Để diễn tả “sức mạnh” của vẻ ngoài vừa dẫn sau đây tôi sẽ trình diễn ba thí dụ khá điển hình nổi bật cùng cách tiến công vô cùng dũng cảm do các bạn Hophu cung cấp. Ví dụ 1: (đề Iran) mang lại đường tròn nội tiếp (O) của tam giác ABC.Gọi M là trung điểm BC, AM cắt (O) tại hai điểm K cùng L(K nằm trong lòng A và L).Qua K kẻ con đường thẳng tuy nhiên song với BC cắt (O) trên điểm sản phẩm hai là X, Qua L kẻ con đường thẳng tuy vậy song cùng với BC giảm (O) trên điểm thiết bị hai là Y, AX cùng AY cắt BC thứu tự tại Q với P. Chứng minh rằng M là trung điểm của PQ. AKTLOB CD M QPYXEFLời giải: (Hophu) *Tư tưởng: Ta thấy các yếu tố vào bài có vẻ như quá lượm thượm, bắt buộc nếu hấp tấp xả thân “búa” tức thì thì lập tức sẽ gặp nhiều nặng nề khăn cũng tương đối lượm thượm. Do đó trước hết bắt buộc xem thử đâu là đa số yếu tố thiết yếu đâu là nguyên tố chỉ để gia công rối, gạn hết rất nhiều thằng “giấy dá” làm rối đi , đem về một bài xích toán dễ dàng và đơn giản hơn rồi new động thủ. Hotline D,E,F theo thứ tự là tiếp điểm của BC,CA,AB với (O) Ta có: LY ALMP AM= cùng MQ AMKX AK= Suy ra .LY MQ ALMP KX AK= cho nên vì thế để minh chứng M là trung điểm PQ ta cần minh chứng LY ALKX AK= (1) điện thoại tư vấn T là giao điểm của KL với YX ta có LY TLKX TK= (2) tự (2) suy ra để chứng tỏ (1) ta cần chứng tỏ TL ALTK AK= tốt cần chứng tỏ (A,T,K,L)= − 1Chú ý KXLY là hình thang cân nên thường thấy T nằm tại OD đến đây vấn đề lòi ra rất rõ: *Bình luận: các điểm P,Q,X,Y chỉ là những điểm để gia công rối, thực tế cái lõi của bài toán là vấn đề sau: “ đến đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Hotline D,E,F theo thứ tự là tiếp điểm của BC,CA,AB cùng với (O). Gọi M là trung điểm BC, AM giảm (O) tại K cùng L (K nằm trong lòng A với L). OD cắt AM trên T. Chứng minh rằng (A,T,K,L) 1= − ” (*) AKOB CD MEFTVấn đề mang lại đây lại xuất hiện một tương lai mới vì theo vấn đề 2.4 trường hợp ta call T’ là giao điểm giữa EF cùng với AM thì (A,T’,K,M) 1= − Vậy để minh chứng bài toán (*) ta chỉ việc chứng minh T "T≡ hay cần chứng minh T nằm ở EF tốt cần chứng tỏ 3 đường thẳng AM,EF,OD đồng quy (3) điện thoại tư vấn L là giao điểm của OD với EF với M’ là giao điểm của AL với BC. Để chứng tỏ (3) ta cần minh chứng L T≡ xuất xắc cần chứng minh "M M≡ Vậy ta quy về chứng tỏ bài toán sau: “ cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. điện thoại tư vấn D,E,F thứu tự là tiếp điểm của BC,CA,AB cùng với (O). OD cắt EF tại L.AL giảm BC tại M’. Chứng tỏ rằng M’ là trung điểm của BC” (**) AOB CD M"EFT*Bình luận: cách quy từ việc (*) thành vấn đề (**) hotline là bước “đảo mang thiết” tức thị thay vày ta phải chứng minh một nguyên tố nào đó mà ta cảm thấy khó tính như chứng tỏ thẳng hàng ví dụ điển hình thì ta có thể cho nó thẳng hàng luôn, bù lại ta đề xuất hi sinh một giả thiết đã bao gồm từ trước và nhiệm vụ phải minh chứng giả thiết bắt đầu hi sinh có thể được suy ra từ rất nhiều điều đã gồm (các chúng ta cũng có thể so sánh vấn đề (*) với bài bác toán(**) giúp xem rõ điều này) Việc đảo giả thiết này tuy đơn giản nhưng nhiều lúc lại đem đến những hiệu quả bất ngờ vì bao gồm những bài xích mà việc gốc khôn xiết khó chứng tỏ trong khi chỉ việc đảo lại một phạt thì vấn đề lại rõ như ban ngày!!! hiện giờ ta sẽ minh chứng bài toán (**) Kẻ tia Ax tuy nhiên song với BC (về phía C), FE cắt Ax tại L Theo hệ quả 2 (phần lí thuyết chùm điều hòa) suy ra để chứng tỏ M’ là trung điểm BC ta cần chứng tỏ (AB,AC,AM’,AL) 1= − tuyệt cần chứng minh (AF,AE,AT,AL) 1= −Hay cần chứng tỏ (F,E,T,L) (4) 1= −A xOB CDLM"EFTKKẻ DT vuông góc AL và giảm AL tại K dễ minh chứng 5 điểm A,K,E,O,F thuộc nằm trên một đường tròn nhưng OF=OE bắt buộc suy ra OKF OKE∠ = ∠ (5) theo phong cách vẽ điểm K thì ta gồm ∠ (6) 090TKL =Kết thích hợp (5),(6) và theo hệ trái 1 (phần lí thuyết chùm điều hòa) suy ra ( , , , )KF KE KT KL = −11Suy ra (4) đúng suy ra đpcm ví dụ 2: mang đến đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Hotline lần lượt là tiếp điểm của BC,CA,AB với (O), là giao điểm đồ vật hai của với (O) với 1 1, ,A B C1AA2A 2B là giao điểm sản phẩm hai của 1BB cùng với (O) . Phân giác của 1 1 1B AC∠ giảm 1 1B C 3A tại , phân giác của cắt tại 1 1 1A B C∠1C A1 3B . Chứng tỏ rằng 1 2A A 3)A_ (P O = 1 2 3)B B_P O ( B Lời gải: (Hophu) A2AB COO1 A1B1C1A3Kẻ 1 1B C cắt BC trên O . Vẽ hình đúng đắn ta thấy có vẻ như như O là trung ương của . Ta chưa chắc chắn điều này đúng hay sai tuy vậy cứ cho rằng nó đúng xem sao. Lúc đó là tiếp đường của (vì ) bắt buộc 1 1 1 2 3A A A1OA1 2 3( )A A A 1 1OA O A⊥ 1 1 2 3_ ( )P O A A A 21=OA .Lập luận tương tự như ta bao gồm 21OB1 2 3( )P B B_O B = chú ý 1OA OB1= nên ta gồm đpcm. Vậy dự đoán bên trên của ta là đúng và hiện thời ta chỉ cần chứng minh O là trung ương của nữa là xong. Vậy ta quy về chứng minh bài toán đơn giản hơn như sau: 11 2 3A A A“Cho mặt đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Gọi lần lượt là tiếp điểm của BC,CA,AB cùng với (O), là giao điểm sản phẩm công nghệ hai của cùng với (O) . Phân giác của một 1, ,A B C1AA12A 1 1 1B AC∠ giảm 1 1B C tại gọi là giao điểm của 3A 1O 1 1B C với BC. Minh chứng rằng O là trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ” . 1 2 3A A AA2AB COO1 A1B1C1A3Theo “định lí về tứ giác điều hòa” ta có một 1 2 11 1 2 1A B A BAC A C= (1) mà là phân giác của một 3A A 1 1 1B AC∠ suy ra 3 11 11 1 3 1A cha BAC A C= (2) từ (1) với (2) suy ra 3 12 12 1 3 1A cha BA C A C= suy ra là phân giác của 2 3A A 1 2 1B A C∠ tất nhiên để chứng minh O là chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ta chỉ cần chứng minh OA tức cần minh chứng 1 2 3A A A2 OA= 3 1 2 3 1 3 2O A A O A A∠ = ∠ thật vậy: (đpcm) 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 3 1O A A O A C C A A A B C B A A A A∠ = ∠ +∠ = ∠ +∠ = ∠ CThí dụ 3: (chọn đội tuyển Việt Nam) Cho hai đường tròn (O_1) cùng (O_2) giảm nhau tại nhị điểm A và B. Nhị tiếp con đường tại A với B của con đường tròn (O_1) giảm nhau tại K. đem M bất kì trên (O_1). MK giảm (O_1) trên điểm trang bị hai là C. Gọi p. Và Q thứu tự là MA,MB với (O_2) a)Chứng minh rằng MC phân chia đôi đoạn trực tiếp PQ b)Chứng minh rằng PQ luôn luôn đi qua 1 điểm vắt định. Lời giải: (Hophu) a) call N là giao điểm của MK cùng với PQ ta cần chứng tỏ NP=NQ (1) điện thoại tư vấn C và L lần lượt là giao điểm của MK với (O_1) cùng MK với đoạn thẳng AB. Ta có ACBM là tứ giác ổn định (định lí tứ giác điều hòa) vày đó: CA MACB MB= (2) còn mặt khác BPQ BAQ BAC BMC∠ = ∠ = ∠∠ = suy ra MPNB là tứ giác nội tiếp suy ra tam giác acb và tam giác PNB đồng dạng (g.g) suy ra NP CANB CB= (3) tự (2) và (3) suy ra NP MANB MB= LCO1BO2AKPIMQ TNDo vậy để chứng tỏ (1) ta cần chứng tỏ NQ MANB MB= Điều này đúng do hai tam giác MAB với tam giác NQB đồng dạng (g.g) Vậy câu a) được giải quyết. B) điện thoại tư vấn T là giao điểm của AK với (O_2),hai tiếp tuyến tại T và B của (O_2) giảm nhau tại I ví dụ I là điểm cố định. Sau khá nhiều lần vẽ hình đúng chuẩn ta thấy PQ luôn đi qua điểm I nên dự đoán I chính là điểm cố định và thắt chặt mà PQ luôn đi qua cùng ta sẽ minh chứng điều này. Để minh chứng PQ luôn đi qua I ta chỉ việc chứng minh PBQT là tứ giác cân bằng là xong (theo nhấn xét vào định lí về tứ giác điều hòa) (*) *Để chứng minh (*) chúng ta Hophu mang đến biết ban đầu đã để ý đến như sau: Theo việc 2.4 ta bao gồm (K,L,C,M) 1= − suy ra ( , , , ) 1AK AL AC AM = −) 1 giỏi hay (( , , , )AK AL AC AP = −1 , ,AB AQ AP,AT = − Ta thấy các điểm B,Q,T,P gần như là chỉ có ý nghĩa để và trách nhiệm của ta là cần chứng minh BQTB là tứ giác điều hòa. Vậy hợp lý có việc sau: ( , , , )AB AT AQ AP = −1Bài toán lạ: “Cho đường tròn (O_2) với một điểm A nằm trê tuyến phố tròn. Chùm điều hòa (Ax,Ay,Az,At) giảm (O_2) tại 4 điểm thứu tự là B,T,Q,P. Cmr: ” 1= − ( , , , ) 1B T Q p. = −Một việc cực giỏi (là mong nối hoàn hảo nhất giữa chùm điều hòa và tứ giác điều hòa) và nếu nó đúng thì coi như tỉ dụ 3 được giải quyết. Theo kỹ năng và kiến thức của chúng tôi thì đó là một bài toán lạ (nhưng lạ thật (đối với những bạn) hay là không thì không biết) do đó trong rạm tâm chúng tôi vẫn nảy mối nghi vấn là việc này đúng tốt là sai ? BO2APQ T (hình vẽ bài toán lạ) mặc dù việc chứng minh trực tiếp cho “bài toán lạ” là kha khá rợn (sợ còn khó hơn hết thí dụ 3) vì chưng chỉ để khám nghiệm “bài toán kỳ lạ “ này là đúng hay sai thì trong thời điểm tạm thời ta gật đầu ví dụ 3 sẽ được xử lý bằng một biện pháp nào đó (vì đây là đề của một việc đã có giải mã nên quan yếu sai được!) . Câu hỏi cho lấy một ví dụ 3 chính xác là một quy định đắc lực để minh chứng bài toán lạ là đúng hay là sai. Giả sử ví dụ 3 đang được hội chứng minh, ta sẽ minh chứng bài toán lạ là đúng (sử dụng “hình vẽ bài toán lạ” làm việc trên). Hotline K là giao điểm của mặt đường trung trực AB cùng với AT Đường thẳng vuông góc cùng với AK(tại A) và mặt đường thẳng vuông góc cùng với BK(tại B) cắt nhau tại O_1. Vẽ con đường tròn vai trung phong O_1 2 lần bán kính O_1A ta kí hiệu con đường tròn này là (O_1) dễ thấy (O_1) trải qua B và KA,KB là nhị tiếp tuyến của K tới (O_1). Giả sử AP giảm (O_1) tai M. MK giảm AB trên L và cắt (O_1) trên C (khác M) vì thế ta được hình vẽ sau thời điểm mới được phân phát họa lại tự “bài toán lạ” là: LCO1BO2AKPMQ TVì (K,L,C,M) suy ra (AK,AL,AC,AM)1= − 1= − giỏi (AK,AL,AC,AP) 1= −Hay (AB,AT,AC,AP) cơ mà theo mang thiết ta tất cả (AB,AT,AQ,AP)1= − 1= − Suy ra A,C,Q thẳng hàng. Đến phía trên ta được những yếu tố y sì ví dụ 3 cho nên vì vậy nếu thí dụ 3 đúng thì BQTP là tứ giác cân bằng và vấn đề được triệu chứng minh. *Nhận xét: Qua biện pháp xây dựng bên trên các chúng ta cũng có thể dễ dàng thừa nhận ra hiệu quả ở ví dụ 3(câu b) với việc lạ là tương tự với nhau. Vì thế nếu ta chứng minh được thẳng cho” vấn đề lạ” thì câu b) thí dụ 3 coi như được xử lý ngược lại nếu bởi một giải pháp nào đó ta chứng tỏ được tỉ dụ 3 là đúng thì việc lạ cũng giống luôn. Rất như mong muốn ta tất cả một cách rẩt dễ dàng để xử lý thí dụ 3 (câu b) như sau: LCO1BO2AKPMQ TNĐể chứng minh BQTP là tứ giác điều hòa có nghĩa là ta cần chứng tỏ QB PBQT PT= (4) trường đoản cú các hiệu quả đã gồm ở câu a) các ban rất có thể dễ dàng triệu chứng minh: Tam giác BPT đồng dạng tam giác BMA (g.g) suy ra PB MBPT MA= (5) Tam giác BQT đồng dạng tam giác BCA (g.g) suy ra QB CBQT CA= (6) khía cạnh khác bởi vì CAMB là tứ giác điều hòa yêu cầu CB MBCA MA= (7) từ (5),(6) và (7) suy ra (4) đúng. Vậy câu b được chứng minh dẫn đến việc lạ cũng khá được giải quyết. *Nhận xét: thực chất mà nói thí dụ 3 tất cả được minh chứng hay không thì cũng không tồn tại gì quá quan trọng đặc biệt vì nó chỉ mô tả một đặc thù hình học tập tầm thường. Mặc dù nhiên kết quả từ vấn đề giải nó đã cho ta một viên ngọc vô giá là” vấn đề lạ”. Nếu bạn nào tìm kiếm được một cách minh chứng nào khác đến “bài toán lạ” thì xin post lời giải khá đầy đủ trong forums để mọi fan cùng tham khảo. *Chú thích: hiện thời gọi đó là “bài toán lạ” cũng không thể đúng nữa bởi sự việc này hiện nay đối cùng với ta cũng đâu còn điều gì khác là lạ!!! Chương đề này xin khép lại nghỉ ngơi đây. Các đồng bọn mến hẳn qua các thí dụ trên chúng ta đã phần nào phiêu lưu vẻ đẹp của việc điều hòa vào hình học. Trong cuộc sống đời thường cũng vậy mỗi bọn họ cũng cần tạo nên mình một sự điều hòa đề nghị thiết bởi vì nó giúp ta mạnh mẽ hơn với yêu đời hơn Chúc tất cả mọi bạn đều được một cuộc sống thường ngày điều hòa như vậy.