Cho tam giác 

*
 và vai trung phong nội tiếp 
*
*
 là chân vuông góc của 
*
 xuống 
*
*
 là chân vuông góc của 
*
 xuống 
*
. Triệu chứng minh 
*
.

Bạn đang xem: Hàng điều hòa

*

Gọi 

*
 là mặt đường tròn đường kính 
*
. Thuận lợi thấy rằng 
*
 theo trang bị tự là trục đẳng phương của những cặp mặt đường tròn 
*
 và 
*
*
 và 
*
*
 và 
*
. Như vậy 
*
 đồng quy tại 
*
.

Từ đó dễ dàng thấy 

*
 mà 
*
 vuông góc 
*
 nên theo định lý về chùm ổn định ta được 
*

Bài toán : mang lại tứ giác 

*
 nội tiếp 
*
 có 
*
 giao nhau tại 
*
 và 
*
 giao nhau tại 
*
. Gọi 
*
 là trung điểm của 
*
. Gọi 
*
 là trọng tâm ngoại tiếp tam giác 
*
. Chứng minh 
*
 song song 
*
.

Lời giải :

*

Gọi 

*
 là trung điểm của 
*
*
 theo đồ vật tự là giao của 
*
 với 
*
.

Dễ thấy 

*
 mà 
*
 là trung điểm của 
*
 nên theo hệ thức Macraulin :

*

Hoàn toàn tương tự như thì 

*
. Hơn nữa lại có 
*
 nên có 
*

Suy ra 

*
 đồng viên.

Mà dễ ợt thấy 

*
 thẳng hàng theo định lí về con đường thẳng Gauss.

Do vậy ta được 

*
. Cũng dễ dàng thấy 
*
 và 
*
 là trung điểm của 
*
 nên theo hệ thức Newton :

*

Ta thu được 

*
. Suy ra 
*
 là tiếp tuyến đường của 
*
. Từ bỏ đó 
*
 vuông góc 
*
.

Lại theo định lý Brocard thì 

*
 là trực tâm tam giác 
*
, kéo theo 
*
 vuông góc 
*
. Như vậy 
*
song song 
*
.

Bài toán : đến tam giác 

*
*
 lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc 
*
*
tiếp xúc 
*
 tại 
*
*
 tiếp xúc 
*
 tại 
*
*
 tiếp xúc 
*
 tại 
*
. Gọi 
*
 theo lắp thêm tự là giao của những cặp đường thẳng 
*
. Bệnh minh 
*
 đồng quy.

Lời giải :

*

Qua 

*
 kẻ mặt đường thẳng 
*
 song tuy nhiên với 
*
*
 cắt 
*
 tại 
*
*
 cắt 
*
 tại 
*
.

Dễ thấy các điểm 

*
 cùng thuộc con đường tròn mặt đường kính 
*
, suy ra :

*

Tức 

*
 là phân giác góc 
*
, rộng nữa 
*
 vuông góc 
*
. Vị đó 
*
.

Kéo theo 

*
. Lại kéo theo 
*
 mà ta có 
*
 song song 
*
 nên theo định lý về chùm điều hòa, ta được 
*
 đi qua trung điểm của 
*
 hay 
*
 là trung đường của tam giác 
*
.

Một cách tương tự 

*
 là trung tuyến của tam giác 
*
. Như vậy 
*
 đồng quy.

*

Bài toán (Đề thi Olympic Duyên Hải phía bắc 2012-2013 môn toán lớp 11)

Cho tam giác 

*
 ngoại tiếp 
*
 và nội tiếp 
*
. Tiếp điểm với 
*
 trên 
*
 theo thứ tự là 
*
*
 là chân vuông góc hạ từ 
*
 xuống 
*
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Tiếp con đường tại 
*
 của 
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Chứng tỏ tam giác 
*
 cân.

Lời giải :

*

Theo định lí sin vào tam giác 

*
 :

*

Lại theo định lí sin trong số tam giác 

*
 :

*

Lại tất cả :

*

Từ đó ta bao gồm :

*

Suy ra 

*
 là phân giác vào tam giác 
*
.

Kẻ phân giác ngoài 

*
 ta có hàng ổn định phân giác :

*

Do đó nếu ta call trung điểm của 

*
 là 
*
 thì theo hệ thức Maclaurin :

*

*

Lần lượt chia hai đẳng thức bên trên theo vế :

*

Chú ý theo tính chất phân giác trong với phân giác ko kể ta gồm :

*

Do đó mà 

*

Hơn nữa bởi hai tam giác 

*
 và 
*
 đồng dạng đề nghị ta có :

*

Suy ra :

*

Từ đó lưu ý rằng 

*
 chính là chổ chính giữa ngoại tiếp tam giác 
*
 nên 
*
. Vậy tam giác 
*
 cân.

Bài toán (Kiểm tra team tuyển lớp 10 trung học phổ thông Chuyên Lương nạm Vinh, Đồng Nai 2012-2013).

Cho mặt đường tròn 

*
 nội tiếp tam giác 
*
 và tiếp xúc 
*
 lần lượt tại 
*
. Đường thẳng qua 
*
 song tuy nhiên với 
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Gọi 
*
 là trung điểm của 
*
. Minh chứng rằng : 
*
vuông góc với 
*
.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác 

*
 ngoại tiếp 
*
, những tiếp điểm trên 
*
 lần lượt là 
*
*
 là trung điểm của 
*
. Khi ấy ta có 
*
 đồng quy.

Chứng minh tại đây

Quay quay lại bài toán :

*

Theo xẻ đề ta có 

*
 đồng quy tại 
*
.

Ta có 

*
 nên 
*
.

Kéo theo 

*

Qua 

*
 kẻ tia 
*
 song tuy nhiên với 
*
. Tương tự trên ta có 
*

Suy ra 

*
. Kết hợp với 
*
 ta suy ra 
*

Bài toán : (Gặp gỡ Toán học lần IV) Cho điểm 

*
 nằm ngoài đường tròn 
*
*
 là tiếp tuyến đường của 
*
kẻ từ 
*
*
 là cat tuyến. 
*
 là 2 lần bán kính của 
*
. Gọi 
*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
. Minh chứng rằng 
*
 vuông góc với 
*
.

Lời giải :

*

Kẻ tiếp tuyến 

*
 đến 
*
 (
*
 là tiếp điểm)

Gọi 

*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
. Dễ dàng thấy 
*
 (cùng vuông góc với 
*
)

Dễ thấy 

*
 là tứ giác cân bằng nên 
*
 mà mặt đường thẳng 
*
 cắt 
*
lần lượt tại 
*
 và 
*
 nên 
*
 là trung điểm của 
*
.

Kết đúng theo với 

*
 là trung điểm của 
*
 ta có 
*
 là hình bình hành.

Suy ra 

*
 mà 
*
 nên 
*
 (điều bắt buộc chứng minh)

Bài toán : mang lại tứ giác 

*
 nội tiếp. 
*
 lần lượt là giao điểm của những cặp 
*
*
 lần lượt là trung điểm của 
*
. Gọi 
*
 lần lượt là giao của 
*
 với 
*
. Chứng tỏ rằng 
*
 đồng viên.

Lời giải :

*

Gọi 

*
 là giao điểm của 
*
. Gọi 
*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
.

Ta có 

*
 (hàng ổn định tứ giác toàn phần)

Qua phép chiếu xuyên tâm 

*
 ta được 
*
. Vì 
*
 là trung điểm của 
*
 nên theo hệ thức 
*
 :

*

Hoàn toàn tương tự : 

*

Mà 

*

Dẫn đến 

*

Điều này triệu chứng tỏ 

*
 đồng viên.

Bài toán : mang lại tứ giác 

*
 nội tiếp. 
*
 lần lượt là trung điểm của 
*
. Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác 
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác 
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Chứng tỏ rằng 
*
 đồng quy.

Lời giải :

*

Khi 

*
 thì tác dụng là hiển nhiên. Xét 
*
 không tuy nhiên song. Gọi 
*
.

Ta có 

*
 đồng viên nên 
*

Ta có 

*
 đồng viên nên 
*

Suy ra 

*
 mà 
*
 là trung điểm của 
*
 nên theo hệ thức 
*
 ta có 
*
. Tương tự 
*

Suy ra 

*
, như vậy 
*
 đồng quy.

Bài toán (IMO Shortlist 1994) Cho tam giác 

*
 có 
*
 lần lượt là tiếp điểm trên 
*
của mặt đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi 
*
 là một điểm bên phía trong tam giác 
*
 sao đến đường tròn nội tiếp tam giác 
*
 tiếp xúc với 
*
 tại 
*
, tiếp xúc với 
*
 theo đồ vật tự tại 
*
. Triệu chứng minh 
*
 đồng viên.

Lời giải :

*

Gọi 

*
 lần lượt là giao điểm của 
*
 với 
*
. Ta chứng minh 
*
.

Dễ thấy 

*
 đồng quy (tại điểm 
*
 của tam giác 
*
) nên 
*
 (hàng ổn định tứ giác toàn phần)

Tương tự 

*
, suy ra 
*
. Suy ra 
*
.

Từ đó, 

*
 là tiếp tuyến thông thường của hai tuyến đường tròn nội tiếp tam giác 
*
 nên : 
*

Suy ra những điểm 

*
 đồng viên.

Bài toán : mang đến đường tròn nội tiếp 

*
 của tam giác 
*
. Gọi 
*
 là trung điểm của 
*
*
 cắt 
*
 tại nhị điểm 
*
 (
*
 nằm giữa 
*
). Qua 
*
 kẻ con đường thẳng song song với 
*
 cắt 
*
 tại điểm vật dụng hai là 
*
. Qua 
*
, kẻ con đường thẳng tuy vậy song với 
*
 cắt 
*
 tại điểm trang bị hai là 
*
*
 cắt 
*
 tại 
*
. Chứng minh 
*
 là trung điểm của 
*
.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác 

*
 ngoại tiếp 
*
, tiếp điểm của 
*
 trên 
*
 lần lượt là 
*
. Gọi 
*
 là trung điểm của 
*
. Bệnh minh 
*
 đồng quy.

Chứng minh bửa đề :

*

Gọi 

*
 là giao của 
*
 với 
*
. Ta chứng minh 
*
 đi qua trung điểm 
*
 của 
*
. Ta sẽ xây dựng nên chùm điều hòa.

Qua 

*
 kẻ con đường thẳng tuy vậy song với 
*
 cắt 
*
 tại 
*
, cắt 
*
 tại 
*
.

Ta có 

*
 (các điểm 
*
 đồng viên)

Tức là 

*
 là phân giác góc 
*
. Mặt khác 
*
 
*

Do đó chùm 

*
, tức 
*
. Mặt khác chùm 
*
 có 
*
 nên 
*
 đi qua trung điểm 
*
 của 
*
. Té đề được triệu chứng minh.

Quay trở về bài toán :

*

Gọi 

*
 là giao của 
*
 với 
*

Theo ngã đề trên ta có 

*
 đồng quy tại 
*
 hay 
*
 đồng quy tại 
*
. Mà 
*
 là hình thang cân có 
*
 là trục đối xứng, lại có 
*
 cắt 
*
 ở 
*
 nên 
*
 cũng thuộc 
*
.

Ta có 

*
 (hàng cân bằng về con đường tròn) nên 
*
, mà 
*
 nên 
*
 là trung điểm của 
*
, tức 
*

Theo định lí 

*
 
*
, tức 
*
 là trung điểm của 
*
.

Ta tất cả điều đề xuất chứng minh.

Bài toán : đến tam giác 

*
 ngoại tiếp đường tròn 
*
*
 lần lượt là tiếp điểm của 
*
 với 
*
*
 cắt 
*
 tại 
*
*
 theo thiết bị tự cắt 
*
 tại 
*
*
 lần lượt cắt 
*
 tại 
*
. Chứng minh rằng 
*
 đồng quy.

Lời giải :

*

Gọi 

*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
. Ta có 
*

Mặt khác ta thấy 

*
 là một tứ giác điều hòa và 
*
 là điểm thuộc mặt đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác 
*
, suy ra 
*

Tương tự, trường hợp gọi 

*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
 thì 
*
.

Như vậy 

*
. Hay 
*
 đồng quy.

Bài toán : đến tam giác 

*
 ngoại tiếp 
*
*
 là điểm tiếp xúc của 
*
 với 
*
. Gọi 
*
 là một điểm trực thuộc đoạn 
*
. Đường thẳng 
*
 theo máy tự cắt 
*
 tại 
*
 sao cho 
*

Gọi 

*
 là nhì tiếp điểm với 
*
 của 
*
.

Xem thêm: 71 Bài Toán On Tập Học Kì 1 Lớp 4 Học Kì 1 Năm 2021, 71 Bài Toán Ôn Tập Toán Học Kì 1 Lớp 4

Gọi 

*
 là giao điểm của 
*
. Gọi 
*
 là giao điểm của 
*
 với 
*
. Dễ thấy 
*
 là một tứ giác điều hòa nên 
*
 là tiếp con đường của 
*
. Hotline giao điểm của con đường thẳng 
*
 với 
*
 lần lượt là 
*
.

Ta có 

*
 (hàng ổn định về con đường tròn)  -->