Lý vị chính để lấy ra số e, đặc biệt quan trọng trong giải tích, là để lấy vi phân với tích phân của hàm mũ với logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x tất cả đạo hàm bên dưới dạng giới hạn:


Bạn đang xem: Ký hiệu e trong toán học

*
Giới hạn ở bên phải hòa bình với trở nên x: nó chỉ nhờ vào vào cơ số a. Lúc cơ số là e, giới hạn này tiến cho tới một, và cho nên e được định nghĩa bởi vì phương trình:
*
Do đó, hàm nón với cơ số e trong một số trong những trường hợp tương xứng để làm cho giải tích. Lựa chọn e, không phải như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho thống kê giám sát chủ yếu đuối về đạo hàm đơn giản hơn khôn cùng nhiều.Một vì sao khác đến từ các việc xét cơ số logarit a. Xét khái niệm của đạo hàm của logax do giới hạn:
*
một lượt nữa, bao gồm một số lượng giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số sẽ là e, giới hạn là một. Vậy
*
Logarit vào trường hợp đặc biệt này (cơ số e
) được điện thoại tư vấn là logarit trường đoản cú nhiên (thường được kí hiệu là "ln"), với nó cũng thuận lợi lấy vi phân vì không tồn tại giới hạn chưa xác định nào phải tiến hành trong lúc tính toán.Do đó tất cả hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số a^x là a^x. Một bí quyết khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x. Mỗi trường hợp hầu như đi mang đến một lựa chọn dễ dàng để làm cho giải tích. Thực tiễn là, nhị cơ số dường như rất khác biệt này lại chỉ với một, số e.

Một số đặc điểm khác

Một số điểm sáng khác của số e: một là về số lượng giới hạn dãy, một cái khác là về chuỗi vô hạn, và vẫn còn một số trong những khác về tích phân. Trên phía trên ta đã reviews hai tính chất:1. Số e là số thực dương duy nhất cơ mà : Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e đó là hàm số đó
*
2. Số e là số thực dương duy nhất cơ mà
*
Các đặc điểm khác dưới đây cũng được minh chứng là tương đương:3. Số e là giới hạn
*
4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn trong các số đó n! là giai thừa của n.


Xem thêm: Đại Cương Về Dao Đông Điều Hòa, Please Wait

*
5. Số e là số thực dương độc nhất vô nhị mà
*
(nghĩa là, số e là số mà diện tích s dưới hyperbol f(t) = 1 / t từ một tới e là bởi một)