1. Bảng cách làm nguyên hàm
a) công thức cơ bản
Phần cơ bạn dạng này gồm 12 phương pháp nguyên hàm được bố trí thành bảng dưới đây:
b) Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm nón được chia thành 8 công thức thuộc 2 nhà đề:
Hàm mũ eHàm mũ
c) Nguyên hàm lượng giác
Bảng phương pháp nguyên hàm vị giác này có 12 công thức tiếp tục gặp:
d) công thức nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước tiếng vẫn xem như là khó cần inthepasttoys.net sẽ tuyển lựa chọn những công thức thường gặp, sau đó sắp xếp trường đoản cú căn bạn dạng tới nâng cao
2. Bài xích tập nguyên hàm
a) bài tập bao gồm lời giải
Câu 1. Hãy search nguyên hàm $int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2dx $
A.$fracx^22 – ln left| 2 – x
ight| + C$.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn u
B. $fracx^22 + ln left| 2 – x ight| + C$.
C. $fracx^33 – ln left| 2 – x ight| + C$.
D. $fracx^33 + ln left| x – 2 ight| + C$.
Lời giải
Chọn A
Vì $frac – x^3 + 5x + 24 – x^2$$ = fracx^3 – 5x – 2x^2 – 4$$ = fracleft( x + 2 ight)left( x^2 – 2x – 1 ight)left( x + 2 ight)left( x – 2 ight)$$ = x – frac1x – 2$
$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$. $ Rightarrow int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2 extdx $$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx $$ = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$
Câu 2. Tra cứu hàm số $f(x)$ biết rằng $f"(x) = ax + fracbx^2$ thỏa mãn $f’left( 1 ight) = 0; ext fleft( 1 ight) = 4; ext fleft( – 1 ight) = 2$
A. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x – frac52$.
B. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$.
C. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x + frac52$.
D. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x – frac52$.
Lời giải
Chọn B
Vì $f’left( 1 ight) = 0 Rightarrow a + b = 0 ext left( 1 ight)$
Ta lại có $fleft( x ight) = int f’left( x ight) extdx $$ = int left( ax + fracbx^2 ight) extdx $$ = fracax^22 – fracbx + C$
Vì $fleft( 1 ight) = 4$$ Leftrightarrow fraca2 – b + C = 4$$ Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8 ext left( 2 ight)$
và $fleft( – 1 ight) = 2 Leftrightarrow fraca2 + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4 ext left( 3 ight)$
Giải hệ phương trình $left{ eginarrayl a + b = 0\ a – 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a = 1\ b = – 1\ c = frac52 endarray ight.$
Vậy $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$
Câu 3. Quý hiếm $m,n$ nhằm hàm số $Fleft( x ight) = left( 2m + n ight)x^3 + left( 3m – 2n ight)x^2 – 4x$ là 1 nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 3x^2 + 10x – 4$. Lúc đó $8m – 2n$ là:
A. $6$.
B. $12$.
C. $10$.
D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
$int left( 3x^2 + 10x – 4 ight)dx = x^3 + 5x^2 – 4x + C $
Khi đó ta bao gồm $left{ eginarrayl 2m + n = 1\ 3m – 2n = 5\ C = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 1\ n = – 1\ C = 0 endarray ight.$ yêu cầu $8m – 2n = 10$.
Câu 4. Kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2sin ^3x1 + cos x$.
A. $int f(x)dx = frac12cos ^2x – 2cos x + C $.
B. $int f(x)dx = cos ^2x – 2cos x + C $.
C. $int f(x)dx = cos ^2x + cos x + C$.
D. $int f(x)dx = frac12cos ^2x + 2cos x + C $.
Lời giải
Chọn B
$int left( frac2sin ^3x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin x.sin ^2x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin xleft( 1 – cos ^2x ight)1 + cos x ight) dx$ $ = 2int sin xleft( 1 – cos x ight)dx $ $ = int 2left( cos x – 1 ight)dleft( cos x ight) $$ = cos ^2x – 2cos x + C$
Câu 5. Kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fraccos ^3xsin ^5x$.
A. $int f(x).dx = frac – cot ^4x4 + C$.
B. $int f(x).dx = fraccot ^4x4 + C$.
C. $int f(x).dx = fraccot ^2x2 + C$.
D. $int f(x).dx = frac an ^4x4 + C$.
Lời giải
Chọn A
$int fraccos ^3xdxsin ^5x $ $ = int cot ^3x.fracdxsin ^2x $ $ = – int cot ^3x.dleft( cot x ight) $ $ = frac – cot ^4x4 + C$
Câu 6. tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)$.
A. $int f(x).dx = sin 2x – frac14sin ^32x + C$
B. $int f(x).dx = frac12sin 2x + frac112sin ^32x + C$.
C. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$.
D. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac14sin ^32x + C$.
Lời giải
Chọn C
$int cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)dx $ $ = int cos 2xleft< left( sin ^2x + cos ^2x ight) – 2sin ^2x.cos ^2x ight>dx $
$ = int cos 2xleft( 1 – frac12sin ^22x ight)dx $ $ = int cos 2xdx – frac12int sin ^22x.cos 2xdx $ $ = int cos 2xdx – frac14int sin ^22x.dleft( sin 2x ight) $ $ = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$
Câu 7. Search nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an x + e^2sin x ight)cos x$.
A. $int f(x)dx = – cos x + frac12e^2sin x + C$.
B. $int f(x)dx = cos x + frac12e^2sin x + C$.
C. $int f(x)dx = – cos x + e^2sin x + C$.
D. $int f(x)dx = – cos x – frac12e^2sin x + C$.
Lời giải
Chọn A
$int left( an x + e^2sin x ight)cos xdx $ $ = int sin xdx + int e^2sin xdleft( sin x ight) $ $ = – cos x + frac12e^2sin x + C$
b) bài xích tập trắc nghiệm nguyên hàm tự luyện
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 2x^3 – 9.$
A. $frac12x^4 – 9x + C.$
B. $4x^4 – 9x + C.$
C. $frac14x^4 + C.$
D. $4x^3 + 9x + C.$
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = x^2 – frac5x + frac3x^2 – frac13$.
Xem thêm: Đoạn Văn Nghị Luận Về Dịch Bệnh Covid Hiện Nay, Top 24 Powerpoint Presentation
A. $fracx^33 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
B. $fracx^33 – 5ln left| x ight| + frac3x – frac13x + C$
C. $2x^3 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
D. $2x – frac5x^2 + frac3xx^4 + C$
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1x^2 – x^2 – frac13$ là:
A. $ – fracx^4 + x^2 + 33x + C$
B. $ – fracx^33 + frac1x – fracx3 + C$
C. $frac – x^4 + x^2 + 33x + C$
D. $ – frac1x – fracx^33 + C$
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = sqrt<3>x$
A. $Fleft( x ight) = frac3sqrt<3>x^24 + C$
B. $Fleft( x ight) = frac3xsqrt<3>x4 + C$
C. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x + C$
D. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x^2 + C$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1xsqrt x $
A. $Fleft( x ight) = frac2sqrt x + C$
B. $Fleft( x ight) = – frac2sqrt x + C$
C. $Fleft( x ight) = fracsqrt x 2 + C$
D. $Fleft( x ight) = – fracsqrt x 2 + C$
Trên đó là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bạn dạng tới nâng cao. Ao ước làm giỏi bài tập hay rút gọn biểu thức thì bài toán học thuộc lòng những bí quyết trong bảng bên trên là đề xuất thiết. Khi nhớ đúng mực mỗi công thức, vận dụng nó một biện pháp thuần thục thì giải bài tập trở lên trên nhanh, cho kết quả chính xác. Nguyên hàm là loài kiến thức bước đầu học ngơi nghỉ lớp 12, còn new lạ, những công thức, bài tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu bạn chăm học, coi kĩ bài viết này và tiếp tục xem lại những công thức thì nó đã trở lên đối chọi giản.