Ta thấy ở hai ví dụ trên đều phải có . Ta gọi là 1 trong nguyên hàm của . Bởi với $C$ là 1 trong hằng số bất kỳ, ta có phải nếu là nguyên hàm của thì cũng là một trong nguyên hàm của . Ta điện thoại tư vấn Họ nguyên hàm của .

Bạn đang xem: Nguyên hàm của cos

Ký hiệu:

VD: .

b) Tính chất

, $k$ là hằng số

dx=intfleft( x ight)dx+intgleft( x ight)dx>

dx=intfleft( x ight)dx-intgleft( x ight)dx>

2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

*

3. Các phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng cách làm nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1. Tìm những nguyên hàm:

• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$

.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$

•$I=intfracdx2x=frac12intfracdxx=frac12ln left$

• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12intfracdleft( cos 2x ight)cos 2x=-frac12ln left$

• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$

• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$

• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$

Phương pháp 2. Cách thức đổi biến

a) những dạng đổi đổi thay số thường xuyên gặp

*

*

b) Ví dụ

• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$

Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ đó ta được:

$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$

$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$

• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$

Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ kia ta được:

$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$

$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$

• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$

Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$

$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int+C$

Phương pháp 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần

a) nội dung phương pháp

Phương pháp này thường xuyên được thực hiện khi ta đề nghị tính nguyên hàm của một tích. Trả sử cần tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm cho như sau:

*

b) Chú ý

Thứ tự ưu tiên để $u$ trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ hàm lượng giác $ o $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=intx extsin2xdx$

*

$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$

•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$

Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.

*

$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$

*

Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$

•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$

*
$Rightarrow I=x.ln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2intln left( x+sqrtx^2+1 ight).fracxdxsqrtx^2+1$

$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$

•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.

*

Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$

Phương pháp 4. Phối hợp đổi phát triển thành số và phương pháp nguyên hàm từng phần

•$I=intsin sqrtxdx$

Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$

*

Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$

•$I=intsin left( ln x ight)dx$.

*

Từ đó $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$

•$I=intx^8e^x^3dx$.

*
 

Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$

•$I=inte^sqrtxdx$.

*

Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương thức dùng nguyên hàm phụ

Giả sử yêu cầu tính $I=intfleft( x ight)dx$. Khi ấy ta tìm kiếm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ thế nào cho việc tính $I+J$ cùng $I-J$ đơn giản dễ dàng hơn. Chẳng hạn:

• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$

Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$

Khi đó:

$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$

$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$

• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Ta có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Khi đó:

$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$

$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$

Từ đó suy ra:

$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

B. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$

A.  <3x^2-2+C> B.

C.   D.

Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$

A. B.

C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>

Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$

A. B. <5e^3x-ln left| 6x+7 ight|+C>

C. D. <5e^3x-frac16ln left| 6x+7 ight|+C>

Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$

A. B.  <-frac12sqrtx+C>

C. $frac32xsqrtx+C$ D.  

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$

A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$

A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 7: Cho . Đặt t=2sinx+1, lúc ấy

A.   B.

C. D.  

Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$

A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.  

C. D.  

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

C. D.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

Câu 10: Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?

A. B.  dx=intf(x)dxpm intg(x)dx>

C.  D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$

A.   B. <3 an (2x-1)+C>

C.  <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>

Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Khi đó

A.

Xem thêm: Nội Dung Bài Nghìn Năm Văn Hiến, Đầy Đủ Nhất

m + n + k = 5 B. m + n + k = 7

C.  m + n + k =12 D.  m + n + k = 16

Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi ấy

A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C.  2m + n =6 D.  2m + n = 8

Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi đó