1. Cách thức tính tích phân hàm chứa giá trị tốt đốiMuốn tính tích phân $I = int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo công việc sau:+ Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $$ nhằm mở dấu quý hiếm tuyệt đối.+ Áp dụng công thức: $int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx + int_c^b | f(x)|dx.$2. Một số trong những ví dụ minh họaVí dụ 1: Tính tích phân: $I = int_ – 3^3 dx.$Ta có: $I = int_ – 3^3 x^2 – 1 ight dx$ $ = int_ – 3^ – 1 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ + int_ – 1^1 left( – x^2 + 1 ight) dx$ $ + int_1^3 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x ight) ight|_ – 3^ – 1$ $ + left. left( – fracx^33 + x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( fracx^33 – x ight) ight|_1^3$ $ = – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ = frac443.$Vậy $I = int_ – 3^3 x^2 – 1 ight dx = frac443.$Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx.$Ta tất cả bảng xét dấu:
*
đề xuất $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 4x + 3 ight) dx$ $ + int_1^2 left( – x^2 + 4x – 3 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – 2x^2 + 3x ight) ight|_0^1$ $ + left. left( – fracx^33 + 2x^2 – 3x ight) ight|_1^2 = 2.$Vậy $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx = 2.$Ví dụ 3
: Tính tích phân: $I_(m) = int_0^1 left dx.$Đặt $f(x) = x^2 – 2x + m$ có $Delta’ = 1 – m.$+ khi $m ge 1$ $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m le 0$ $ Rightarrow f(x) ge 0$ $forall x in R.$Do kia $I_(m) = int_0^1 x^2 – 2x + m ight dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m – frac23.$+ lúc $0 Delta’ = 1 – m > 0\f(0) = m > 0\f(1) = m – 1 endarray ight.$Phương trình $f(x) = m$ bao gồm hai nghiệm $x_1 cho nên ta gồm $0 tốt ta có:
*
Nên: $I_(m) = int_0^1 x^2 – 2x + m ight dx$ $ = int_0^x_1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ + int_x_1^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^x_1$ $ + left. left( – fracx^33 + x^2 – mx ight) ight|_x_1^1$ $ = 2left< fracx_1^33 – x_1^2 + mx_1 ight> + frac23 – m.$Thế $x_1 = 1 – sqrt 1 – m $ vào ta có:$I_m = frac23(1 – sqrt 1 – m )$$left< (1 – sqrt 1 – m )^2 – 3(1 – sqrt 1 – m ) + 3m ight>$ $ + frac23 – m$ $ = frac23(1 – sqrt 1 – m )(2m – 1 + sqrt 1 – m )$ $ + frac23 – m.$+ lúc $m le 0$ thì $left{ eginarray*20lf(0) = m le 0\f(1) = m – 1 le 0endarray ight.$Do đó ta tất cả $x_1 le 0 đề xuất $I_m = int_0^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( frac – x^33 + x^2 – mx ight) ight|_0^1$ $ = frac23 – m.$Ví dụ 4
: Tính tích phân: $I = int_0^2 dx.$Ta có:
*
bởi vì đó: $I = int_0^2 left dx$ $ = int_0^1 left( – x^2 + x ight) dx$ $ + int_1^2 left( x^2 – x ight) dx$ $ = left. left( – fracx^33 + fracx^22 ight) ight|_0^1$ $ + left. left( fracx^33 – fracx^22 ight) ight|_1^2 = 1.$Ví dụ 5
: Tính tích phân: $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx.$+ khi $alpha le 0$ thì $x – alpha ge 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx$ $ = left. left( fracx^33 – fracalpha x^22 ight) ight|_0^1$ $ = frac13 – fracalpha 2.$+ lúc $0
*
Vậy $I(alpha ) = int_0^alpha x |x – alpha |dx$ $ + int_alpha ^1 x |x – alpha |dx$ $ = int_0^alpha left( – x^2 + alpha x ight) dx$ $ + int_alpha ^1 left( x^2 – alpha x ight) dx$ $ = left. left( fracalpha x^22 – fracx^33 ight) ight|_0^alpha $ $ + left. left( fracx^33 – fracalpha x^22 ight) ight|_alpha ^1$ $ = fracalpha ^33 – fracalpha 2 + frac13.$+ lúc $alpha ge 1$ thì $x – alpha le 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(alpha ) = int_0^1 left( – x^2 + alpha x ight) dx$ $ = left. left( – fracx^33 + fracalpha x^22 ight) ight|_0^1$ $ = fracalpha 2 – frac13.$Ví dụ 6
: mang lại $f(x) = 3x^3 – x^2 – 4x + 1$ với $g(x) = 2x^3 + x^2 – 3x – 1.$a) Giải bất phương trình $f(x) ge g(x).$b) Tính $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx.$a) Ta có: $f(x) ge g(x)$ $ Leftrightarrow f(x) – g(x) ge 0$ $ Leftrightarrow x^3 – 2x – x + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 – x – 2 ight) ge 0$ $ Leftrightarrow left( x^2 – 1 ight)(x – 2) ge 0$ $ Leftrightarrow – 1 le x le 1$ hoặc $x ge 2.$b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) – g(x)$ âm, dương lúc nào).
*
Vậy $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_ – 1^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = intlimits_ – 1^1 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ – intlimits_1^2 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ = int_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ – int_1^2 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ = left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ – left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_1^2 = frac3712.$Ví dụ 7
: Tính tích phân: $I = int_ – pi ^pi sqrt 1 – sin x dx.$Ta có: $I = int_ – pi ^pi sqrt left( sin fracx2 – cos fracx2 ight)^2 dx$ $ = int_ – pi ^pi left dx$ $ = sqrt 2 int_ – pi ^pi left dx.$Đổi biến: đặt $t = fracx2 + fracpi 4 Rightarrow dt = fracdx2.$Đổi cận: $left< eginarray*20lx = pi \x = – pi endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 4\t = – fracpi 4endarray ight.$Ta thấy: cùng với $ – fracpi 4 le t le fracpi 2$ thì $cos t ge 0$, với $fracpi 2 le t le frac3pi 4$ thì $cos t Suy ra: $I = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^frac3pi 4 | cos t|dt$ $ = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^fracpi 2 cos tdt – 2sqrt 2 int_fracpi 2^frac3pi 4 cos tdt $ $ = 2sqrt 2 sin left. T ight|_ – fracpi 4^fracpi 2 – 2sqrt 2 sin left. T ight|_fracpi 2^frac3pi 4 = 4sqrt 2 .$Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx.$Ta có: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx$ $ = int_ – fracpi 2^0 ( – sin x) dx + int_0^fracpi 2 sin xdx$ $ = cos left. X ight|_ – fracpi 2^0 + left. ( – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ = 1 + 1 = 2.$Ví dụ 9: Tính $I = int_fracpi 4^frac3pi 4 | sin 2x|dx.$Đặt $t = 2x Rightarrow dt = 2dx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = frac3pi 4\x = fracpi 4endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 2\t = fracpi 2endarray ight.$
*
bởi vì đó: $I = frac12int_fracpi 2^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi | sin t|dt + frac12int_pi ^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi sin t dt – frac12int_pi ^frac3pi 2 sin tdt$ (vì $fracpi 2 le t le pi $ thì $sin t ge 0$, $fracpi 2 le t le frac3pi 2$ thì $sin t le 0$).$I = – frac12cos left. T ight|_fracpi 2^pi + frac12cos left. T ight|_pi ^frac3pi 2 = 1.$Ví dụ 10
: Tính tích phân: $I = int_fracpi 6^fracpi 3 sqrt an ^2x + cot ^2x – 2 dx.$Ta có: $sqrt an ^2x + cot ^2x – 2 $ $ = sqrt ( an x + cot x)^2 $ $ = | an x – cot x|$ $ = left| fracsin xcos x – fraccos xsin x ight|$ $ = left| fracsin ^2x – cos ^2xsin xcos x ight|$ $ = left| fraccos ^2x – sin ^2xsin xcos x ight|$ $ = 2left| fraccos 2xsin 2x ight|.$Ta có: $fracpi 6 le x le fracpi 3$ $ Rightarrow fracpi 3 le 2x le frac2pi 3.$Do đó: $sin 2x ge 0$, $left{ eginarraylcos 2x le 0: mkhi:x in left< fracpi 4;fracpi 3 ight>\cos 2x ge 0: mkhi:x in left< fracpi 6;fracpi 4 ight>endarray ight.$Vậy $I = int_fracpi 6^fracpi 4 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ + int_fracpi 4^fracpi 3 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fraccos 2xsin 2xdx – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fraccos 2xsin 2xdx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fracd(sin 2x)sin 2x – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fracd(sin 2x)sin 2x$ $ = ln left. ight|_fracpi 6^fracpi 4 – left. ln ight|_fracpi 4^fracpi 3$ $ = left( ln 1 – ln fracsqrt 3 2 ight) – left( ln fracsqrt 3 2 – ln 1 ight)$ $ = – 2ln fracsqrt 3 2.$Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx.$Ta có: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2cos ^2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2 |cos x|dx$ $ = sqrt 2 int_0^fracpi 2 cos xdx – sqrt 2 int_fracpi 2^pi cos xdx$ $ = sqrt 2 sin left. X ight|_0^fracpi 2 – sqrt 2 sin left. X ight|_fracpi 2^pi $ $ = 2sqrt 2 .$Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx.$Ta có: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ + int_fracpi 2^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ = int_0^fracpi 2 cos x.(sin x)^frac12dx$ $ – int_fracpi 2^pi cos x.(sin x)^frac12dx$ $ = int_0^fracpi 2 (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ – int_fracpi 2^pi (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ = frac23left. (sin x)^frac32 ight|_0^fracpi 2 – frac23left.


Bạn đang xem: Nguyên hàm của giá trị tuyệt đối


Xem thêm: Đầu Số 058 Là Mạng Gì - Ý Nghĩa Của Đầu Số 058

(sin x)^frac32 ight|_fracpi 2^pi $ $ = frac23 + frac23 = frac43.$Ví dụ 13
: Tính tích phân: $I = int_ – 1^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 .$Vì hàm số $f(x) = fracx^4 – x^2 – 12$ là hàm số chẵn, tiếp tục trong $< – 1;1>.$Suy ra: $I = int_ – 1^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracxdxx^4 – x^2 – 12 .$Đặt $t = x^2 Rightarrow dt = 2xdx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = 1\x = 0endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = 1\t = 0endarray ight.$Vậy $I = int_0^1 fracdtt^2 – t – 12 $ $ = int_0^1 fracdt(t – 4)(t + 3) $ $ = frac17int_0^1 left( frac1t – 4 – frac1t + 3 ight) dt$ $ = frac17ln left. left ight|_0^1$ $ = frac27ln frac34.$