Bài viết hướng dẫn phương thức tính tích phân hàm chứa giá trị tốt đối, đấy là dạng toán thường gặp mặt trong lịch trình Giải tích 12 chương 3.

1. Phương thức tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đốiMuốn tính tích phân $I = int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện tại theo công việc sau:+ Xét vệt hàm $f(x)$ trên đoạn $$ để mở dấu giá trị tuyệt đối.+ Áp dụng công thức: $int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx + int_c^b | f(x)|dx.$2. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = int_ – 3^3 x^2 – 1 ight dx.$

Ta có: $I = int_ – 3^3 left dx$ $ = int_ – 3^ – 1 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ + int_ – 1^1 left( – x^2 + 1 ight) dx$ $ + int_1^3 left( x^2 – 1 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x ight) ight|_ – 3^ – 1$ $ + left. left( – fracx^33 + x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( fracx^33 – x ight) ight|_1^3$ $ = – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ – frac13 + 1 + 9 – 3 – frac13 + 1$ $ = frac443.$Vậy $I = int_ – 3^3 dx = frac443.$

Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_0^2 dx.$

Ta gồm bảng xét dấu:

*

Nên $I = int_0^2 left dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 4x + 3 ight) dx$ $ + int_1^2 left( – x^2 + 4x – 3 ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – 2x^2 + 3x ight) ight|_0^1$ $ + left. left( – fracx^33 + 2x^2 – 3x ight) ight|_1^2 = 2.$Vậy $I = int_0^2 x^2 – 4x + 3 ight dx = 2.$

Ví dụ 3: Tính tích phân: $I_(m) = int_0^1 dx.$

Đặt $f(x) = x^2 – 2x + m$ có $Delta’ = 1 – m.$+ Khi $m ge 1$ $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m le 0$ $ Rightarrow f(x) ge 0$ $forall x in R.$Do đó $I_(m) = int_0^1 left dx$ $ = int_0^1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m – frac23.$+ Khi $0 Delta’ = 1 – m > 0\f(0) = m > 0\f(1) = m – 1 endarray ight.$Phương trình $f(x) = m$ gồm hai nghiệm $x_1 cho nên vì vậy ta có $0 giỏi ta có:

*

Nên: $I_(m) = int_0^1 dx$ $ = int_0^x_1 left( x^2 – 2x + m ight) dx$ $ + int_x_1^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^x_1$ $ + left. left( – fracx^33 + x^2 – mx ight) ight|_x_1^1$ $ = 2left< fracx_1^33 – x_1^2 + mx_1 ight> + frac23 – m.$Thế $x_1 = 1 – sqrt 1 – m $ vào ta có:$I_m = frac23(1 – sqrt 1 – m )$$left< (1 – sqrt 1 – m )^2 – 3(1 – sqrt 1 – m ) + 3m ight>$ $ + frac23 – m$ $ = frac23(1 – sqrt 1 – m )(2m – 1 + sqrt 1 – m )$ $ + frac23 – m.$+ Khi $m le 0$ thì $left{ eginarray*20lf(0) = m le 0\f(1) = m – 1 le 0endarray ight.$Do kia ta có $x_1 le 0 Nên $I_m = int_0^1 left( – x^2 + 2x – m ight) dx$ $ = left. left( frac – x^33 + x^2 – mx ight) ight|_0^1$ $ = frac23 – m.$

Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = int_0^2 left dx.$

Ta có:

*

Do đó: $I = int_0^2 x^2 – x ight dx$ $ = int_0^1 left( – x^2 + x ight) dx$ $ + int_1^2 left( x^2 – x ight) dx$ $ = left. left( – fracx^33 + fracx^22 ight) ight|_0^1$ $ + left. left( fracx^33 – fracx^22 ight) ight|_1^2 = 1.$

Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx.$

+ Khi $alpha le 0$ thì $x – alpha ge 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx$ $ = left. left( fracx^33 – fracalpha x^22 ight) ight|_0^1$ $ = frac13 – fracalpha 2.$+ Khi $0 + Khi $alpha ge 1$ thì $x – alpha le 0$ $forall x in <0;1>.$Vậy $I(alpha ) = int_0^1 left( – x^2 + alpha x ight) dx$ $ = left. left( – fracx^33 + fracalpha x^22 ight) ight|_0^1$ $ = fracalpha 2 – frac13.$

Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3x^3 – x^2 – 4x + 1$ và $g(x) = 2x^3 + x^2 – 3x – 1.$a) Giải bất phương trình $f(x) ge g(x).$b) Tính $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx.$

a) Ta có: $f(x) ge g(x)$ $ Leftrightarrow f(x) – g(x) ge 0$ $ Leftrightarrow x^3 – 2x – x + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 – x – 2 ight) ge 0$ $ Leftrightarrow left( x^2 – 1 ight)(x – 2) ge 0$ $ Leftrightarrow – 1 le x le 1$ hoặc $x ge 2.$b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) – g(x)$ âm, dương lúc nào).

*

Vậy $I = int_ – 1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_ – 1^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = intlimits_ – 1^1 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ – intlimits_1^2 left< fleft( x ight) – gleft( x ight) ight>dx $ $ = int_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ – int_1^2 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight) dx$ $ = left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ – left. left( fracx^44 – frac2x^23 – fracx^22 + 2x ight) ight|_1^2 = frac3712.$

Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = int_ – pi ^pi sqrt 1 – sin x dx.$

Ta có: $I = int_ – pi ^pi sqrt left( sin fracx2 – cos fracx2 ight)^2 dx$ $ = int_ – pi ^pi dx$ $ = sqrt 2 int_ – pi ^pi dx.$Đổi biến: đặt $t = fracx2 + fracpi 4 Rightarrow dt = fracdx2.$Đổi cận: $left< eginarray*20lx = pi \x = – pi endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 4\t = – fracpi 4endarray ight.$Ta thấy: với $ – fracpi 4 le t le fracpi 2$ thì $cos t ge 0$, với $fracpi 2 le t le frac3pi 4$ thì $cos t Suy ra: $I = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^frac3pi 4 | cos t|dt$ $ = 2sqrt 2 int_ – fracpi 4^fracpi 2 cos tdt – 2sqrt 2 int_fracpi 2^frac3pi 4 cos tdt $ $ = 2sqrt 2 sin left. T ight|_ – fracpi 4^fracpi 2 – 2sqrt 2 sin left. T ight|_fracpi 2^frac3pi 4 = 4sqrt 2 .$

Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx.$

Ta có: $I = int_ – fracpi 2^fracpi 2 | sin x|dx$ $ = int_ – fracpi 2^0 ( – sin x) dx + int_0^fracpi 2 sin xdx$ $ = cos left. X ight|_ – fracpi 2^0 + left. ( – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ = 1 + 1 = 2.$

Ví dụ 9: Tính $I = int_fracpi 4^frac3pi 4 | sin 2x|dx.$

Đặt $t = 2x Rightarrow dt = 2dx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = frac3pi 4\x = fracpi 4endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = frac3pi 2\t = fracpi 2endarray ight.$

*

Do đó: $I = frac12int_fracpi 2^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi | sin t|dt + frac12int_pi ^frac3pi 2 | sin t|dt$ $ = frac12int_fracpi 2^pi sin t dt – frac12int_pi ^frac3pi 2 sin tdt$ (vì $fracpi 2 le t le pi $ thì $sin t ge 0$, $fracpi 2 le t le frac3pi 2$ thì $sin t le 0$).$I = – frac12cos left. T ight|_fracpi 2^pi + frac12cos left. T ight|_pi ^frac3pi 2 = 1.$

Ví dụ 10: Tính tích phân: $I = int_fracpi 6^fracpi 3 sqrt an ^2x + cot ^2x – 2 dx.$

Ta có: $sqrt an ^2x + cot ^2x – 2 $ $ = sqrt ( an x + cot x)^2 $ $ = | an x – cot x|$ $ = left| fracsin xcos x – fraccos xsin x ight|$ $ = left| fracsin ^2x – cos ^2xsin xcos x ight|$ $ = left| fraccos ^2x – sin ^2xsin xcos x ight|$ $ = 2left| fraccos 2xsin 2x ight|.$Ta có: $fracpi 6 le x le fracpi 3$ $ Rightarrow fracpi 3 le 2x le frac2pi 3.$Do đó: $sin 2x ge 0$, $left{ eginarraylcos 2x le 0: mkhi:x in left< fracpi 4;fracpi 3 ight>\cos 2x ge 0: mkhi:x in left< fracpi 6;fracpi 4 ight>endarray ight.$Vậy $I = int_fracpi 6^fracpi 4 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ + int_fracpi 4^fracpi 3 2 left| fraccos 2xsin 2x ight|dx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fraccos 2xsin 2xdx – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fraccos 2xsin 2xdx$ $ = int_fracpi 6^fracpi 4 2 fracd(sin 2x)sin 2x – int_fracpi 4^fracpi 3 2 fracd(sin 2x)sin 2x$ $ = ln left. sin 2x ight|_fracpi 6^fracpi 4 – left. ln ight|_fracpi 4^fracpi 3$ $ = left( ln 1 – ln fracsqrt 3 2 ight) – left( ln fracsqrt 3 2 – ln 1 ight)$ $ = – 2ln fracsqrt 3 2.$

Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx.$

Ta có: $I = int_0^pi sqrt 1 + cos 2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2cos ^2x dx$ $ = int_0^pi sqrt 2 |cos x|dx$ $ = sqrt 2 int_0^fracpi 2 cos xdx – sqrt 2 int_fracpi 2^pi cos xdx$ $ = sqrt 2 sin left. X ight|_0^fracpi 2 – sqrt 2 sin left. X ight|_fracpi 2^pi $ $ = 2sqrt 2 .$

Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx.$

Ta có: $I = int_0^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ + int_fracpi 2^pi | cos x|sqrt sin x dx$ $ = int_0^fracpi 2 cos x.(sin x)^frac12dx$ $ – int_fracpi 2^pi cos x.(sin x)^frac12dx$ $ = int_0^fracpi 2 (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ – int_fracpi 2^pi (sin x)^frac12 d(sin x)$ $ = frac23left. (sin x)^frac32 ight|_0^fracpi 2 – frac23left.


Bạn đang xem: Nguyên hàm của trị tuyệt đối


Xem thêm: Top 20 Số Hiệu Văn Bằng Là Gì ? Số Hiệu Bằng Tốt Nghiệp Đại Học Là Gì

(sin x)^frac32 ight|_fracpi 2^pi $ $ = frac23 + frac23 = frac43.$

Ví dụ 13: Tính tích phân: $I = int_ – 1^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 .$

Vì hàm số $f(x) = fracx^4 – x^2 – 12$ là hàm số chẵn, liên tục trong $< – 1;1>.$Suy ra: $I = int_ – 1^1 fracdxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracxx^4 – x^2 – 12 $ $ = 2int_0^1 fracxdxx^4 – x^2 – 12 .$Đặt $t = x^2 Rightarrow dt = 2xdx.$Đổi cận $left< eginarray*20lx = 1\x = 0endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarray*20lt = 1\t = 0endarray ight.$Vậy $I = int_0^1 fracdtt^2 – t – 12 $ $ = int_0^1 fracdt(t – 4)(t + 3) $ $ = frac17int_0^1 left( frac1t – 4 – frac1t + 3 ight) dt$ $ = frac17ln left. fract – 4t + 3 ight ight|_0^1$ $ = frac27ln frac34.$