Bài viết chỉ dẫn giải bài xích toán tìm nguyên hàm của các hàm số mũ cùng logarit bằng phương pháp sử dụng những phương pháp: phụ thuộc vào nguyên hàm cơ bản, phân tích, đổi thay đổi và nguyên hàm từng phần … trong mỗi phương thức sẽ có các ví dụ minh họa cụ thể với giải thuật chi tiết.

Bạn đang xem: Nguyên hàm logarit

Để khẳng định nguyên hàm của những hàm số mũ cùng logarit ta cần linh hoạt lựa lựa chọn 1 trong các cách thức cơ phiên bản sau:1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.2. Cách thức phân tích.3. Cách thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.

Dạng toán 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ cùng logarit dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản.Bằng các phép thay đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu vết phân về những dạng nguyên hàm cơ bạn dạng đã biết.

Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm của các hàm số sau:a) $f(x) = frac1e^x – e^ – x.$b) $frac2^2x3^x16^x – 9^x.$

a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdleft( e^x ight)e^2x – 1 $ $ = frac12ln left| frace^x – 1e^x + 1 ight| + C.$b) Chia tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu vết phân đến $4^x$, ta được:$int f (x)dx$ $ = int fracleft( frac43 ight)^xleft( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43int fracdleft< left( frac43 ight)^x ight>left( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43.frac12ln left| fracleft( frac43 ight)^x – 1left( frac43 ight)^x + 1 ight| + C$ $ = frac12(ln 4 – ln 3)ln left| frac4^x – 3^x4^x + 3^x ight| + C.$

Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của những hàm số sau:a) $f(x) = frac11 + 8^x.$b) $f(x) = fracln (ex)3 + xln x.$

a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac11 + 8^x dx$ $ = int left( 1 – frac8^x1 + 8^x ight) dx$ $ = x – fracln left( 1 + 8^x ight)ln 8 + C.$b) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac1 + ln x3 + xln x dx$ $ = int fracd(xln x)3 + xln x $ $ = int fracd(3 + xln x)3 + xln x $ $ = ln |3 + xln x| + C.$

Dạng toán 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ cùng logarit bằng cách thức phân tích. họ đã được thiết kế quen với cách thức phân tích nhằm tính các xác minh nguyên hàm nói chung. Hiện thời đi coi xét cụ thể hơn về vấn đề sử dụng cách thức này để xác định nguyên hàm của những hàm số mũ và logarit. Phải hiểu rằng thực ra nó là một trong những dạng của cách thức hệ số bất định, nhưng ở đây ta áp dụng các đồng hóa thức quen thuộc thuộc.

Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac11 – e^x.$

Sử dụng nhất quán thức: $1 = left( 1 – e^x ight) + e^x$, ta được:$frac11 – e^x$ $ = fracleft( 1 – e^x ight) + e^x1 – e^x$ $ = 1 + frace^x1 – e^x.$Suy ra: $int f (x)dx$ $ = int left( 1 + frace^x1 – e^x ight) dx$ $ = int d x – int fracdleft( 1 – e^x ight)1 – e^x $ $ = x – ln left| 1 – e^x ight| + C.$

Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int e^x sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 dx$ $ = int sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 dleft( e^x – 1 ight)$ $ = frace^x – 12sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| left( e^x – 1 ight) + sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2 ight| + C.$Chú ý: Nếu các em học viên thấy cạnh tranh hình cần sử dụng một cách cặn kẽ cách biến hóa để đem đến dạng cơ bạn dạng trong việc trên thì tiến hành theo hai bước sau:Bước 1: tiến hành phép đổi đổi thay $t = e^x$, suy ra:$dt = e^xdx.$$e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 dx$ $ = sqrt t^2 – 2t + 2 dt$ $ = sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Khi đó: $int f (x)dx = int sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Bước 2: thực hiện phép thay đổi biến $u = t – 1$, suy ra:$du = dt.$$sqrt (t – 1)^2 + 1 dt = sqrt u^2 + 1 du.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt u^2 + 1 du$ $ = fracu2sqrt u^2 + 1 $ $ + frac12ln left| u + sqrt u^2 + 1 ight| + C$ $ = fract – 12sqrt (t – 1)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| t – 1 + sqrt (t – 1)^2 + 1 ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2 ight| + C.$Dạng toán 3: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng phương thức đổi biến.Phương pháp đổi biến đổi được sử dụng cho những hàm số mũ và logarit với mục tiêu chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về những dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, mặc dù trong nhiều trường hợp yêu cầu tiếp thu phần nhiều kinh nghiệm nhỏ dại đã được trình bày bằng những chú ý.

Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt 1 + e^2x .$

Ta có thể lựa chọn những cách trình diễn sau:Cách 1: Ta có:$fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = frace^ – xdxsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 .$Khi đó:$int f (x)dx$ $ = – int fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 + e^2x $, suy ra:$t^2 = 1 + e^2x$ $ Rightarrow 2tdt = 2e^2xdx$ $ Leftrightarrow dx = fractdtt^2 – 1.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fractdttleft( t^2 – 1 ight) $ $ = int fracdtt^2 – 1 $ $ = frac12ln left| fract – 1t + 1 ight| + C$ $ = frac12ln left| fracsqrt 1 + e^2x – 1sqrt 1 + e^2x + 1 ight| + C.$Cách 3: Đặt $t = e^x$, suy ra $dt = e^xdx.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdttsqrt 1 + t^2 $ $ = int fracdtt^2sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – int fracdleft( frac1t ight)sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – ln left| frac1t + sqrt frac1t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 4: Đặt $t = e^ – x$, suy ra:$dt = – e^ – xdx$ $ Leftrightarrow – dt = fracdxe^x.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = int fracdxsqrt e^2xleft( e^ – 2x + 1 ight) $ $ = int fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = int frac – dtsqrt t^2 + 1 $ $ = – int fracdtsqrt t^2 + 1 $ $ = – ln left| t + sqrt t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left| e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight| + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1e^x – 4e^ – x.$

Đặt $e^x = t$, suy ra $e^xdx = dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxe^x – 4e^ – x $ $ = int frace^xdxe^2x – 4 $ $ = int fracdtt^2 – 4 $ $ = ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = ln left| frace^x – 2e^x + 2 ight| + C.$

Dạng toán 4: search nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng phương thức lấy nguyên hàm từng phần.Chúng ta đã theo thông tin được biết trong phần khẳng định nguyên sản phẩm bằng cách thức nguyên hàm từng phần, so với các dạng nguyên hàm:Dạng 1: Tính: $int e^ax cos (bx)$ hoặc $int e^ax sin (bx)$ với $a,b e 0.$Khi kia ta đặt: $left{ eginarray*20lu = cos (bx)\dv = e^axdxendarray ight.$ hoặc $left{ eginarray*20lu = sin (bx)\dv = e^axdxendarray ight.$Ngoài ra cũng hoàn toàn có thể sử dụng cách thức hằng số bất định.

Xem thêm: Khoảng Cách Giữa 2 Đường Thẳng Oxyz, Cách Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Lớp 12

Dạng 2: Tính: $int p (x)e^alpha xdx$ với $alpha in R^*.$Khi kia ta đặt: $left{ eginarray*20lu = P(x)\dv = e^alpha xdxendarray ight.$Ngoài ra cũng hoàn toàn có thể sử dụng phương thức hằng số bất định.

Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm $I = int x ln frac1 – x1 + xdx.$

Đặt $left{ eginarray*20lu = ln frac1 – x1 + x\dv = xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = frac – 11 – x^2dx\v = frac12x^2endarray ight.$Khi đó: $I = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int fracx^22left( 1 – x^2 ight) dx$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int left( frac12left( 1 – x^2 ight) – frac12 ight) dx + C$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + frac14ln left| frac1 + x1 – x ight| – frac12x + C.$

Ví dụ 2: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an ^2x + an x + 1 ight)e^x.$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an ^2x + an x + 1 ight) e^x$ $ = int left( an ^2x + 1 ight) e^x + int e^x an xdx$ $(1).$Xét tích phân $J = int e^x an xdx$, đặt:$left{ eginarray*20lu = an x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxcos ^2x = left( 1 + an ^2x ight)dx\v = e^xendarray ight.$Khi đó: $J = e^x an x – int left( an ^2x + 1 ight) e^x$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $int f (x)dx = e^x an x + C.$