nhấn xét. Với câu (b) của lấy ví dụ như này, ta thấy có xuất hiện thêm những đa thức đựng dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều này sẽ gây trở ngại hơn trong bài toán giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị tuyệt đối thì thường khó khăn phân tích thành nhân tử. Tuy thế nhờ việcsử dụng phương thức nhân lượng liên hợp, bài toán này đã có được giải gấp rút và tương đối nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ cần chuyển những lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng cách thức nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám biến hóa các biểu thức một biện pháp tựdo hơn, dễ chịu và thoải mái hơn, không biến thành gò bó các quá ở bài toán lựa chọn biểu thức thật phù hợp hayđánh giá chỉ như trong những cách khác




Bạn đang xem: Nhân liên hiệp

*
*

Bạn đang xem câu chữ tài liệu Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ, để download tài liệu về máy chúng ta click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Tìm Tập Xác Định D Của Hàm Số Hay, Chi Tiết, Cách Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Hay, Chi Tiết

http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là một trong cách giải thân thuộc được áp dụng không hề ít trongcác việc giải phương trình cùng hệ phương trình vô tỉ. Phương pháp giải dễ dàng và đơn giản và hiệu quả nàykhông hầu hết giúp ta tiếp cận câu hỏi theo hướng tự nhiên hơn mà còn làm ta tự tạo đượcnhiều bài toán mới mẻ và lạ mắt một phương pháp dễ dàng, thông qua đó có thể tự tập luyện thêm các kỹ năngcho mình. Trong nội dung bài viết này, bọn họ sẽ thuộc tìm hiểu rõ hơn về phương pháp nhân lượngliên hợp cũng tương tự những điều cần để ý khi áp dụng nó.1 kỹ năng và kiến thức cần ghi nhớ và một số bài toán mở đầu1.1 kỹ năng cần nhớỞ chương trình THCS, họ đã khá thân quen với những việc về thay đổi biểu thứcvô tỉ bằng cách dùng đại lượng phù hợp để khử căn nhằm làm xuất hiện nhân tử. Điều đóđược thực hiện nhờ các hằng đẳng thức cơ phiên bản sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng ý tưởng phát minh này, trong các bài toán về phương trình với hệ phương trình, bọn họ có thểnhóm hoặc thêm bớt các đại lượng tương xứng vào các biểu thức chứa căn rồi làm lộ diện cácđa thức. Nhờ câu hỏi phân tích những đa thức kia thành nhân tử làm lộ diện ra vượt số chung, ta1Sinh viên trường Đại học tập FPT, tp Hồ Chí Minh. Nickname chienthan nghỉ ngơi Diễn bầy Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX vày can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõnguồn của lúc đăng cài đặt trên các trang website khác.3Ở đây ta tạm gọi là các biểu thức đã thỏa mãn điều khiếu nại của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa bài toán đã đến về những phương trình tích không còn xa lạ và tự đó cách xử lý tiếp. Tất nhiên là cónhiều yếu đuối tố không giống cần chú ý nhưng với các bài toán thường thì thì ý tưởng phát minh tổng quát là:Giả sử trong phương trình, hệ phương trình phải xét, chúng ta có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là một trong đa thức như thế nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x = a là một trong nghiệm củanó. Khi đó, ta sẽ sản xuất biểu thức bên trên đại lượng −√P (a) để có được đổi khác sau√P (x)−√P (a) =P (x)− phường (a)√P (x) +√P (a).Đa thức p (x) − phường (a) làm việc trên tử rõ ràng có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khoản thời gian làmcác các bước thêm bớt giống như vào phần đông đại lượng còn lại, chúng ta sẽ giành được ngay nhântử đề nghị tìm.Như thế, tổng thể hơn, nếu ta có phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) xác định trên miền Dvà ta sẽ biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta tất cả thể đổi khác đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về xử trí phương trình bắt đầu g(x) = 0.Trong những trường đúng theo thì g(x) đang vô nghiệm trên D, mặc dù một số trường đúng theo khác thìnó sẽ vẫn còn nghiệm nữa và điều này đòi hỏi nhiều cách thức xử lý ưa thích hợp.1.2 những ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là 1 trong nghiệm của phương trình nên có thể tiếnhành biến đổi như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm tốt nhất x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều khiếu nại xác định: x > −3. Phương trình đang cho tương đương với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, khi đó theo các đổi khác ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, vấn đề đó không thể xẩy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình đang cho tất cả một nghiệm duy nhất x = 1.(b) Phương trình đã cho tương đương với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên tự trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm nhất của phương trình sẽ cho.Ví dụ 3. Tìm toàn bộ các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình sẽ cho tương đương với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta gồm x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình đang cho tương đương với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta tất cả các review sau:• V p. = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta tất cả V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ đây ta suy ra (1) bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = −2. Vậy phương trình đã mang đến có tất cả hainghiệm là x = 1 và x = −2.Cách 2. Ta sẽ chuyển đổi phương trình đã đến theo cách khác như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với đa số x ∈ R nên ta suy ra phương trình đã cho cóhai nghiệm là x = 1 với x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách trước tiên của câu (b), vì chỉ tìm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên lời giải dẫn mang lại một phương trình khác nhưng mà ta đề xuất dùng bất đẳng thức reviews đểtìm nghiệm còn lại. Trong lúc đó, ở phương pháp 2, vì đã kiếm được cả nhị nghiệm của phương trình đãcho nên có thể chủ cồn nhóm những hạng tử để tạo nên nhân tử tầm thường là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức trong ngoặc đã luôn luôn dương với đa số x cho nên việc giải phương trình coi như trả tất.Các bước phân tích để sở hữu được phương pháp nhóm trên đã được giới thiệu rõ ở các bài sau. Sau đây làcách thông dụng khi giải câu hỏi này, đó đó là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải quan trọng đặc biệt dùng nhằm xử lý những bài phương trình bao gồm bậc nhì vế là nghịch đảo của nhau.Cách 3. Phương trình đang cho hoàn toàn có thể được viết dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta có (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ bỏ đây với từ phương trình làm việc trên, ta bao gồm hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế những phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức vào ngoặc vuông luôn luôn dương với tất cả x, y ∈ R). Thay y = x ngược quay trở lại vàohệ, ta được phương trình tương xứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra cùng thử lại, ta cũng rất được các nghiệm x = 1 cùng x = −2.Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) thường thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình đề nghị ta chỉ cần xét x 6= −3là đủ. Lúc đó, phương trình đang cho có thể được viết lại dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ trên đây ta suy ra x = 0 là một nghiệm của phương trình vẫn cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương đương với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình đang cho gồm hai nghiệm là x = 0 với x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tựa như bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta có x = ±2 với hai quý hiếm này thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ chuyển đổi trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không có giá trị như thế nào của x thỏa mãn nhu cầu hệ này. Cùng như thế, ta đi đến tóm lại phươngtrình đã cho gồm hai nghiệm là x = −2 cùng x = 2.Ví dụ 6. Giải những phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với điều kiện này, ta dễ thấy:• V T > √x+ 3 > 2 với đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi x = 1.• V p. 6 2 cùng đẳng thức cũng xẩy ra khi và chỉ khi x = 1.Do vậy, để rất có thể xảy ra trường phù hợp V T = V p như vẫn nêu nghỉ ngơi đề bài bác thì ta phải gồm V T = V p. = 2,tức x = 1. Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm tuyệt nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = một là nghiệm của phương trình và vấn đề này gợi đến tanghĩ cho việc đổi khác phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng cùng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là một trong những đại lượng ko âm, trongkhi kia vế phải luôn mang quý hiếm 6 0. Do đó, để hoàn toàn có thể xảy ra được lốt đẳng thức như trênthì cả nhị đại lượng này bắt buộc đồng thời bởi 0, có nghĩa là x = 1. Vậy x = một là nghiệm duy nhấtcủa phương trình đang cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến hóa tương tự như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng cách giải phương trình trang bị nhất, ta tìm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình thứ hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Vì vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta có phương trình vẫn cho tương tự với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên trường hợp thiết bị hai cấp thiết xảy ra. Từ phía trên ta suy ra phương trình đã mang lại chỉ bao gồm mộtnghiệm tuyệt nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải những phương trình với bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở nhì vế đều phải có dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên hoàn toàn có thể dùngtính solo điệu của hàm số để giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương thức nhân phối hợp nhằmlàm lộ diện nhân tử thông thường ở hai vế. Trước hết, ta viết lại phương trình dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng phương pháp nhân các lượng liên hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình sẽ cho tương đương với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, bởi A, B > 0 phải từ đây ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình vẫn cho bao gồm hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình đang cho tương tự với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> đề nghị từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình đang cho tất cả hai nghiệm là x = −1 và x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình vẫn cho tương tự với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong vệt ngoặc trang bị hai luôn dương với mọi x > −4, vì thế ta có thể viếtlại bất phương trình bên trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết phù hợp với điều kiện khẳng định x > −4, ta thu được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình vẫn cho.Nhận xét. Cùng với câu (b) của ví dụ như này, ta thấy có lộ diện thêm những đa thức cất dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều đó sẽ gây trở ngại hơn trong việc giải quyết, vìphương trình cất dấu trị hoàn hảo nhất thì thường khó phân tích thành nhân tử. Nhưng mà nhờ việcsử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã có giải gấp rút và tương đối nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng cách thức nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bởi nhân lượng liên hợp cho phép ta dám biến hóa các biểu thức một giải pháp tựdo hơn, dễ chịu hơn, không xẩy ra gò bó những quá ở việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hayđánh giá như trong các cách khác.