Công thức nguyên hàm từng phần

cách thức nguyên hàm từng phần thường xuyên được sử dụng để search tích phân bất định của các hàm số phức hợp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit cùng hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…

cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) bao gồm đạo hàm bên trên tập K. Khi đó ta bao gồm công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

*

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho nhì hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tiếp tục trên K ta tất cả công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Bạn đang xem: Phương pháp nguyên hàm từng phần

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần giả dụ nguyên hàm bao gồm dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 vào 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số nhiều thức, hàm con số giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:

– bước 1. Đặt 

*

 (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))

– bước 2. Khi kia theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số nhiều thức, hàm con số giác, hàm số mũ ta đặt theo phép tắc đặt u.

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm nhiều thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong lời nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Bài xích tập:

Nếu f(x) là hàm log, g(x) là 1 trong các 3 hàm còn lại, ta đã đặt
*
Tương từ nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm nhiều thức, ta đã đặt 
*

Một số dạng nguyên hàng từng phần thường gặp

Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là nhiều thức.

Theo phép tắc ta đặt 

*

Dạng 2: 

*

trong đó P(x) là đa thức.

Theo phép tắc ta đặt 

*

Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là nhiều thức

Theo luật lệ ta đặt 

*

Dạng 4: 

*

Theo phép tắc ta đặt 

*

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số gồm dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương thức trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta phải đặt

*

Khi đó:

*

 Các dạng toán nguyên hàm từng phần hay gặp

Dạng 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

*

với f(x) là 1 trong hàm của nhiều thức.

Phương pháp giải

– Bước 1: Ta triển khai đặt

*

– Bước 2: phụ thuộc vào việc đặt tại trên, ta suy ra

*

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau có tác dụng 1 ví dụ tiếp sau đây nhé:

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải

Dựa vào phương pháp giải sinh hoạt trên chúng ta dễ thấy

*

Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

*

Bước 2: Theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là một trong hàm nhiều thức.

Xem thêm: Bộ Đề Thi Tiếng Việt Giữa Học Kì 2 Lớp 5 Theo Thông Tư 22, Bộ Đề Thi Giữa Học Kì 2 Lớp 5 Theo Thông Tư 22

Phương pháp:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

*

– Bước 2: phụ thuộc việc đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu

Để phát âm hơn về dạng toán này, ta cùng cả nhà xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx

Lời giải

Dựa theo phương thức trên, ta triển khai đặt

*

Theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 3: Hàm con số giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

*

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

– Bước 2: phụ thuộc việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành

*

Để gọi hơn lấy một ví dụ này, ta cùng mọi người trong nhà xem lấy ví dụ sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm phối hợp giữa nguyên hàm lượng giác, các bạn hãy làm như sau:

Dựa theo cách thức trên, ta đặt như sau

*

Theo bí quyết nguyên hàm từng phần ta có:

*

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm phối hợp giữa hàm con số giác và hàm số mũ

*

Các bước giải như sau:

– Bước 1: Ta thực hiện đặt như sau

*

– Bước 2: lúc đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên đề nghị lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Kế bên ra, ở bước 1 ta hoàn toàn có thể đặt khác chút bằng phương pháp đặt

*

Để giúp đỡ bạn hiểu rộng dạng toán này, mời các bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là lượng chất giác cùng hàm e mũ sau đây I=∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một trong nguyên hàm phối hợp giữa nguyên lượng chất giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau: