Ý tưởng

Ý tưởng của thuật toán như sau: Ở bước lặp thứ k ta cố hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ thị tại điểm xk. Nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.




Bạn đang xem: Phương pháp tiếp tuyến

Ý nghĩa hình học
*

f là hàm khả vi với dễ tính giá trị đạo hàm thì phương pháp tiếp tuyến bao gồm tốc độ hội tụ nhanh.

*

Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên đoạn và thoả mãn: f(a).f(b)0 gọi là điểm Fourier của f nếu:

f(x0) f’’(x0) >0

Dễ thấy với những điều kiện trên nếu một trong nhì điểm a, b là điểm Fourier, thì điểm kia ko là Fourier. (Vì f(a) với f(b) trái dấu, còn f’’(x) ko đổi dấu)

Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ)

Giả sử là khoảng nghiệm của phương trình f(x)=0. Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục, ko đổi dấu, không tiêu diệt bên trên . Khi đó ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0 thuộc làm thế nào cho f(x0)*f’’(x0) > 0 thì quy trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm.

Phương pháp tiếp tuyến giỏi còn gọi là phương pháp Fourier gồm tốc độ hội tụ cao.

Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm Fourier thuộc kể cả a với b.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y=f(x) tại xk là:

y = f’(xk) (x-xk) +f(xk);

Nghiệm xấp xỉ ở bước k+1 sẽ là nghiệm của phương trình:

f’(xk) (x-xk) +f(xk) =0

hay ta tất cả công thức lặp:

*

Ta tất cả thể chứng minh hàng trên đơn điệu với hội tụ đến nghiệm phương trình

Ước lượng không nên số:

Giả sử x* là nghiệm của (4.1), đặt m = min x∈. Ta gồm ước lượng sau:

*

Thật vậy, ta có

f(xn) = f(xn) – f(x*) = f’(c) (xn – x*)

nên

*

Vì những đạo hàm f’(x) cùng f’’(x) không đổi dấu trên yêu cầu

m = min f’(b) >0


Thuật toán Newton

Dạng giả mã của thuật toán:

Procedure Newton

>ε) x = x – f(x) / f’(x);

// x là nghiệm gần đúng




Xem thêm: Viết Đoạn Văn Tả Một Bộ Phận Của Cây Lớp 4, Tập Làm Văn Lớp 4

Ứớc lượng sai số:

Sai số ở bước n được tính theo công thức là:

*

Ví dụ

Ví dụ 1: Để tính gần đúng 153 form size 12 nroot form size 83 "15" ta giải phương trình x3 -15 =0 trên đoạn <2,3>. Dễ kiểm tra thấy f(2).f(3) 2 >0; f’’(x) =6x>0 trên đoạn <2,3> và x0=3 là điểm Fourier cùng m = min12, 27 = 12

Công thức gồm dạng:

*

Ta gồm x1 = 2,5556; x2 = 2,4693

Sai số |x2- x*| Giải: - bóc tách nghiệm:

f(x) = x3 + x - 5

f’(x) = 3x2 + 1 > 0 mọi x

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất f(1)* f(2) = (-3)*5 0 mọi x thuộc (1, 2) f’(x) > 0 mọi x

Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến

Chọn với x0 = 2 ( vì chưng f(2). F’’(2) > 0)

Ví dụ 3: Xét phương trình f(x) = x3 - 3x + 1 = 0 trong khoảng biện pháp ly nghiệm <0,1/2>. Ta gồm

*
Chọn x0 = 0 thỏa điều kiện Fourier.

Kết quả đo lường và tính toán theo công thức lặp Newton đến ta bảng sau: