Thông qua bài học những em sẽ cố được các dạng Phương trình lượng gác cơ bản với công thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa được bố trí theo hướng dẫn giải để giúp đỡ các em nắm rõ nội dung bài xích học. Đây là bài xích toán gốc rễ để những em học tiếp mọi dạng phương trình lượng phức tạp hơn xuất xắc giải một trong những dạng bài bác tập có liên quan đến lượng giác khác.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình sinx= a

1.2. Phương trình cosx= a

1.3. Phương trình tanx= a

1.4. Phương trình cotx= a

2. Bài bác tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 2 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác

3.2 bài bác tập SGK và nâng cấp về hàm con số giác

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 1 giải tích 11


Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm. Ví như (|a|leq 1):(sin x = sin alpha Leftrightarrow left< eginarrayl x = alpha + k2pi \ x = pi - alpha + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))(sin x = sin eta ^0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = eta ^0 + k360^0\ x = 180^0 - eta ^0 + k360^0 endarray ight.left( k inmathbbZ ight))(sin x = a Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin a + k2pi \ x = pi - arcsin a + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))​Tổng quát: (sin fleft( x ight) = sin gleft( x ight) Leftrightarrow left< eginarrayl fleft( x ight) = gleft( x ight) + k2pi \ fleft( x ight) = pi - gleft( x ight) + k2pi endarray ight.,,left( k inmathbbZ ight))Các ngôi trường hợp đặc biệt:

(eginarrayl oplus ,,,sin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = - 1 Leftrightarrow x = - fracpi 2 + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)


Nếu(|a|>1): Phương trình vô nghiệm. Nếu(|a|leq 1):(cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))(cos x = cos eta ^0 Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))(cos x = a Leftrightarrow x = pm ,arcc mosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))Tổng quát:(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))Các ngôi trường hợp sệt biệt:

(eginarrayl oplus ,,,cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,,,left( k in mathbbZ ight) endarray)


(eginarrayl oplus an x = mathop m t olimits manalpha Leftrightarrow ,x, m = ,alpha + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus an x = mathop m t olimits maneta ^0 Leftrightarrow ,x m = eta ^0 + k m18 m0^0,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus an x = a Leftrightarrow x m = arctan a, + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)

Tổng quát:( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))

(eginarrayl oplus cot x = cot alpha Leftrightarrow mx,, m = ,alpha , m + , mkpi ,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mx,, m = ,eta ^0 m + , mk18 m0^0,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus cot x = a Leftrightarrow mx,, m = mathop m arc olimits cot ,a, m + , mkpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)

Tổng quát:(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))
Ví dụ 1:

Giải những phương trình sau:

a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0).

b)(sin x = sin fracpi 12).

c)(sin 3x = frac12).

d)(sin x = frac23).

Lời giải:

a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0Leftrightarrow frac2x3 - fracpi 3 = kpi Leftrightarrow ,frac2x3 = fracpi 3 + kpi)

(Leftrightarrow ,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2),(k in mathbbZ.)

Vậy phương trình có những nghiệm là:(,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2), (k in mathbbZ.)

b)(sin x = sin fracpi 12 Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = pi - fracpi 12 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = frac11pi 12 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

Vậy phương trình có các nghiệm là(x = fracpi 12 + k2pi ,kin mathbbZ)và (x = frac11pi 12 + k2pi ,kin mathbbZ.)

c)(sin 3x = frac12 Leftrightarrow sin 3x = sin fracpi 6 Leftrightarrow left< eginarrayl 3x = fracpi 6 + k2pi \ 3x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 18 + kfrac2pi 3\ x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3 endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

Vậy phương trình có các nghiệm là(x = fracpi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ)và(x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ).

d)(sin x = frac23 Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin frac23 + k2pi \ x = pi - arcsin frac23 + k2pi endarray ight.left( k inmathbbZ ight))

Vậy phương trình có những nghiệm là(x = arcsin frac23 + k2pi,k in mathbbZ)và(x = pi - arcsin frac23 + k2pi, k in mathbbZ.)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12).

b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2).

Lời giải:

a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12 Leftrightarrow left< eginarrayl frac3x2 - fracpi 4 = frac2pi 3 + k2pi \ frac3x2 - fracpi 4 = - frac2pi 3 + k2pi endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3\ x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3 endarray ight.mkern 1mu ,mkern 1mu k in mathbbZ.)

Vậy phương trình có các nghiệm là:(x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ)và(x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ.)

b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2 Leftrightarrow cos left( x + 45^0 ight) = c mos45^0)

(Leftrightarrow left< eginarrayl x + 45^0 = 45^0 + k360^0\ x + 45^0 = - 45^0 + k360^0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 45^0 + k360^0\ x = - 90^0 + k360^0 endarray ight.left( k in mathbbZ ight).)

Vậy phương trình có những nghiệm là:(x = 45^0 + k360^0, k in mathbbZ)và(x = - 90^0 + k360^0, k in mathbbZ.)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a)( an x = an fracpi 3).

b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3).

Lời giải:

a)( an x = an fracpi 3 Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,left( k inmathbbZ ight).)

b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3 Leftrightarrow)( an (x - 15^0) = an 30^0Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)

Vậy các nghiệm của phương trình là(x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7).

b)(cot 4x = - 3.)

c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 ).

Lời giải:

a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7)(Leftrightarrow 4x = frac2pi 7, + ,kpi Leftrightarrow ,x = fracpi 14 + ,kfracpi 4,,k in mathbbZ.)

Vậy các nghiệm của phương trình là:(x = fracpi 14 + ,kfracpi 4;,k in mathbbZ.)

b)(cot 4x = - 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( - 3 ight) + kpi Leftrightarrow x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)

Vậy những nghiệm của phương trình là:(x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)

c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 Leftrightarrow cot left( 2x - fracpi 6 ight) = cot fracpi 6)

(Leftrightarrow 2x - fracpi 6 = fracpi 6 + kpi Leftrightarrow 2x = fracpi 3 + kpi)

(Leftrightarrow x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)

Vậy những nghiệm của phương trình là:(x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)


Trong phạm vi bài họcHỌC247chỉ reviews đến những em đều nội dung cơ bạn dạng nhất vềphương trình lượng giác.Đây là 1 trong những dạng toán nền tảng không chỉ là trong phạm vi điều tra hàm con số giác bên cạnh đó được áp dụng trong việcgiải phương trình lượng giác, sự solo điệu của hàm con số giác,....các em cần mày mò thêm.


Để cũng cố bài học kinh nghiệm xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 bài 2 để khám nghiệm xem tôi đã nắm được nội dung bài học hay chưa.


A.(x = fracpi 20 + kfracpi 2;x = fracpi 5 + kfracpi 2,k in mathbbZ.) B.(x = fracpi 20 + kfracpi 2;x = fracpi 10 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)C.(x = fracpi 10 + kfracpi 2;x = fracpi 5 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)D.(x = frac3pi 5 + kfracpi 2;x = fracpi 10 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)
A.(x = pm arccos frac25 - fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)B.(x = pm arccos frac25 + fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)C.(x = pm arccos frac52 - fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)D.(x = pm arccos frac52 + fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)
A.(x_1 = 5 - frac11pi 6;x_2 = 5 - frac13pi 6.)B.(x_1 = 5 + frac11pi 6;x_2 = 5 - frac13pi 6.)C.(x_1 = 5 - frac11pi 6;x_2 = 5 + frac13pi 6.)D.(x_1 = 5 + frac11pi 6;x_2 = 5 + frac13pi 6.)

Câu 4-10:Mời những em singin xem tiếp nội dung và thi thử Online nhằm củng cố kỹ năng và kiến thức và nắm rõ hơn về bài học này nhé!


Bên cạnh đó các em có thể xem phần lí giải Giải bài tập Toán 11 Chương 1 bài xích 2sẽ giúp những em thế được các phương thức giải bài bác tập trường đoản cú SGKGiải tích 11Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Cách Biến Đổi Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng Cực Hay, Chi Tiết

bài tập 1 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

bài bác tập 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

bài xích tập 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11

bài tập 4 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

bài xích tập 5 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

bài xích tập 6 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

bài tập 7 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

bài xích tập 1.14 trang 23 SBT Toán 11

bài xích tập 1.15 trang 23 SBT Toán 11

bài bác tập 1.16 trang 24 SBT Toán 11

bài bác tập 1.17 trang 24 SBT Toán 11

bài xích tập 1.18 trang 24 SBT Toán 11

bài xích tập 1.19 trang 24 SBT Toán 10

bài bác tập 1.20 trang 24 SBT Toán 11

bài bác tập 1.21 trang 24 SBT Toán 10

bài tập 1.22 trang 24 SBT Toán 11

bài bác tập 1.23 trang 24 SBT Toán 10

bài bác tập 1.24 trang 25 SBT Toán 11

bài xích tập 14 trang 28 SGK Toán 11 NC

bài xích tập 15 trang 28 SGK Toán 11 NC

bài xích tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC

bài xích tập 17 trang 29 SGK Toán 11 NC

bài xích tập 18 trang 29 SGK Toán 11 NC

bài bác tập 19 trang 29 SGK Toán 11 NC

bài bác tập trăng tròn trang 29 SGK Toán 11 NC

bài xích tập 21 trang 29 SGK Toán 11 NC

bài bác tập 22 trang 30 SGK Toán 11 NC

bài tập 23 trang 31 SGK Toán 11 NC

bài tập 24 trang 32 SGK Toán 11 NC

bài bác tập 25 trang 32 SGK Toán 11 NC

bài bác tập 26 trang 32 SGK Toán 11 NC


Nếu có vướng mắc cần giải đáp những em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm vấn đáp cho các em.