Dạng 1. Khối chóp đến trước chiều cao

Phương pháp:


+ Chóp cho biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy⇒Chiều cao chính là đoạn trực tiếp nối tự đỉnh tới điểm đó.

Bạn đang xem: Thể tích các khối đa diện


Ví dụ 1.1:Cho hình chóp S.ABCD, gồm đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh SD tạo thành với phương diện phẳng lòng một góc 450. Thể tích khối chóp

*
là

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Ta có:

*

Thể tích khối chóp

*
là

*

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An)

Cho tứ diện

*
có
*
đôi một vuông góc với nhau,
*
. Tính thể tích V của khối tứ diện
*
theo
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Theo trả thiết

*

Thể tích khối tứ diện

*
là

*
.

Chọn B.

Ví dụ 1.3:Cho hình chóp

*
có
*
, đáy
*
là tam giác vuông tại B. Biết
*
và
*
hợp với đáy
*
một góc
*
với
*
. Tính thể tích khối chóp.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Vì hình chiếu của SC cùng bề mặt phẳng (ABC) là AC

nên

*

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC

có:

*
AC=5a" />

Diện tích tam giác ABC là:

*

Ta có

*

*

Thể tích khối chóp là

*
.Chọn B.

Ví dụ 1.4 (Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định)

Cho hình chóp

*
có tam giác
*
vuông tại
*
tam giác
*
đều. Hình chiếu của S lên khía cạnh phẳng
*
trùng cùng với trung điểm M của AC. Tính thể tích khối chóp
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác

*
có:

*

Tam giác

*
đều nên
*

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác

*
có:

*

Thể tích khối chóp

*
là
*

*
.

Chọn D.

Ví dụ 1.5 (THPT im Lạc – Vĩnh Phúc 2017 Lần 1)

Cho hình chóp

*
có lòng là tam giác phần lớn cạnh a. Những mặt bên
*
cùng vuông góc với mặt đáy
*
; góc giữa SB cùng mặt
*
bằng
*
. Tính thể tích khối chóp
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Theo trả thiết có:

*

Thể tích khối chóp

*
là

*

Chọn C.

Ví dụ 1.6:Cho hình chóp

*
có đáy
*
là hình thoi; hai tuyến phố chéo
*
và giảm nhau tại O; nhì mặt phẳng
*
và
*
cùng vuông góc với phương diện phẳng
*
. Biết khoảng cách từ điểm O mang đến mặt phẳng
*
bằng
*
. Tính thể tích khối chóp
*
theo a.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Vì

*
là hình thoi nên
*
*
.

*
vuông trên O có:

*

*
đều.

Ta có

*

Gọi H là trung điểm của AB.

*
đều nên
*
và
*
.

Kẻ

*
là trung điểm của AB
*

và

*
.

Kẻ

*
, mà
*
, hay
*
.

*
vuông tại O có:
*
.

*
.

Thể tích khối chóp

*
là
*
.Chọn A.

Dạng 2. Khối chóp có một mặt vuông góc với đáy

Phương pháp:

Để khẳng định đường cao của hình chóp ta vận dụng định lí sau:

*

⇒Kẻ con đường cao SH của mặt bên đó⇒SH là đường cao của hình chóp.

Lưu ý lúc vẽ hình:Hình chóp bao gồm một mặt mặt vuông góc cùng với đáy


Ví dụ 2.1 (THPT Nguyễn Văn Thoại – An Giang 2017)

Cho hình chóp

*
, có đáy
*
là tam giác vuông cân tại C,
*
đều cạnh a và phía trong mặt phẳng vuông góc cùng với đáy. Tính thể tích V của khối chóp theo a.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác

*
đều nên
*
.

Mà

*
nên
*
.

SH là con đường cao của tam giác đều

*

*
.

*
vuông cân nặng tại C nên ta có:

*

Thể tích khối chóp

*
là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2.2 (THPT Tân yên 1 – Bắc Giang 2017)

Cho hình chóp

*
có đáy
*
là hình chữ nhật,
*
Tam giác
*
cân tại S và phía bên trong mặt phẳng vuông góc cùng với đáy. Đường thẳng
*
tạo với khía cạnh phẳng lòng một góc
*
. Tính thể tích khối chóp
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Do

*
cân tại
*
nên hình chiếu của
*
trên

mặt phằng

*
là trung điểm
*
của cạnh
*
.

Ta có:

*

*

*

Thể tích khối chóp

*
là

*
.

Chọn C.

Ví dụ 2.3: mang đến hình chóp

*
có đáy là hình chữ nhật
*
. Tam giác
*
nằm trong phương diện phẳng vuông góc với
*
Tính thể tích của khối chóp
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Dựng

*
, do
*

Ta có, do

*
vuông trên H:

*

và

*

Vậy

*

Đáp án C

Ví dụ 2.4:Cho khối chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vuông tạiAvàD,

*
. Góc thân hai phương diện phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
*
. GọiIlà trung điểm của AD. Biết nhị mặt phẳng (SBI) cùng (SCI) thuộc vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chópS.ABCDlà:

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Dựng

*
, mặt khác
*
.

Do đó

*
.

Ta có:

*
.

*
.

Do vậy

*

*
.Chọn C

Dạng 3. Khối chóp bao gồm các kề bên bằng nhau – Khối chóp đều

Phương pháp:


+ Hình chóp rất nhiều là hình chóp gồm đáy là nhiều giác đều, những mặt mặt là các tam giác cân và bằng nhau, chân mặt đường cao ≡ trung khu đường tròn nước ngoài tiếp đáy.

Ví dụ 3.1:Thể tích tứ diện hồ hết cạnh 2a là

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Thể tích tứ diện phần đa cạnh a gồm công thức nhanh

*
.

Thể tích tứ diện hầu như cạnh 2a là

*
(đvtt).Chọn B.

Ví dụ 3.2:Thể tích của khối bát diện phần lớn cạnh a là

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Thể tích của khối chóp tứ giác đều phải sở hữu các cạnh bởi a có thể tích là V1=

*

Mà thể tích của khối chén bát diện đều bằng 2V1. Vì vậy thể tích khối bát diện đều là V =

*
.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.3:Kim từ bỏ tháp Kê-ốp làm việc Ai Cập được xây dựng vào lúc 2500 thời gian trước Công nguyên. Kim trường đoản cú tháp này là 1 khối chóp tứ giác đều sở hữu chiều cao 147m, cạnh đáy lâu năm 230m. Vắt tích

*
của khối chóp kia là?

A.

*
m3 B.
*
m3

C.

*
m3 D.
*
m3

Lời giải:

Thể tích của kim từ bỏ tháp Kê – ốp là

*

Ví dụ 3.4:Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bởi 1.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi O là trọng điểm của ABCD, ta có

*

Chọn giải đáp C.

Ví dụ 3.5:Cho hình chóp tam giác đều sở hữu cạnh lòng bằngavà bên cạnh tạo với đáy một góc

*
. Thể tích của khối chóp kia bằng:

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

*
.Chọn giải đáp A.

Ví dụ 3.6 (Chuyên KHTN hà nội thủ đô 2017 Lần 1)

Một hình chóp tứ giác đều phải sở hữu đáy là hình vuông vắn cạnh a, các mặt mặt tạo với đáy một góc α. Thể tích của khối chóp kia là

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

*
là hình vuông nên
*

Gọi

*
. Do
*
là chóp tứ giác

đều nên

*
vuông tại O

*

Thể tích khối chóp

*
là
*
*

Chọn D.

Ví dụ 3.7 (THPT chăm Lê Thánh Tông – Quảng Nam)

Một hình chóp tứ giác đều sở hữu góc tạo vị mặt bên và mặt dưới bằng

*
và diện tích s xung quanh bằng
*
. Tính diện tích
*
của dưới đáy hình chóp.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do

*
là hình chóp tứ giác các nên:

*

*
.

Trong

*
có:

*
.

Vì

*
là hình chóp tứ giác hầu như nên những mặt mặt là những tam giác cân và bởi nhau. Bởi vì đó diện tích xung quanh của hình chóp
*
là
*

Mà

*
nên
*
.

Vậy diện tích của đáy

*
là
*
.Chọn C.

Ví dụ 3.8 (THPT chăm Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2017 Lần 2)

Cho khối chóp

*
với
*
là hình chữ nhật và các ở kề bên bằng nhau. Góc giữa các mặt phẳng
*
và phương diện phẳng lòng lần lượt là
*
và
*
, biết độ cao của hình chóp là
*
. Tính thể tích của khối chóp đó.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi

*
lần lượt là trung điểm của
*

Khi đó:

*

*

Độ dài các cạnh của lòng là

*

*

Thể tích của khối chóp là

*
.Chọn A.

Ví dụ 3.9 (THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc 2017 Lần 3)

Cho hình chóp

*
có lòng là tam giác vuông cân nặng tại
*
. Biết
*
, tính thể tích khối chóp
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AC.

Do

*
là hình chóp có các kề bên bằng nhau

và

*
vuông cân nặng tại B nên
*
.

Ta có

*
.

*

Thể tích khối chóp

*
là

*
.Chọn B.

Ví dụ 3.10:Cho hình chóp tứ giác đều

*
có
*
,SA=a
*
. GọiM, N, Plần lượt là trung điểm của các cạnhSA, SBvàCD.Tính thể tích
*
của tứ diệnAMNP.

A.

*
B.
*
C.
*
. D.
*

Lời giải:

Chọn B.

Ta có

*
.

Dễ thấy

*

Ta có

*
*
.

Ví dụ 3.11 (THPT chăm Phan Bội Châu – nghệ an 2017 Lần 2)

Khối chóp

*
có đáy là hình thoi cạnh
*
. Thể tích lớn nhất của khối chóp
*
là

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Do

*
nên hình chiếu của đỉnh S

là giao điểm H của AC và BD.

Đặt

*
thì
*
.

Diện tích tam giác

*
là

*
*

Theo định lí hàm số sin có:

*

*

Ta có

*

*
*

Do đó

*
.Chọn C.

Dạng 4. Tỉ số thể tích

Phương pháp:

Cho hình chóp S.ABC, điện thoại tư vấn A’, B’, C’ theo thứ tự là những điểm trực thuộc SA, SB, SC. Khi đó:

*
(Công thức này chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác)

Ví dụ 4.1 (THPT chăm Lê Khiết – Quảng Ngãi)

Cho khối tứ diện

*
có
*
đôi một vuông góc với nhau và
*
*
. Gọi
*
lần lượt là trung điểm của hai cạnh
*
. Thể tích của khối tứ diện
*
tính theo a bằng

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Ta có

*

*

Chọn D.

Ví dụ 4.2 (THPT chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội)

Cho khối chóp

*
có thể tích bằng 16. Gọi
*
lần lượt là trung điểm của các cạnh
*
Tính thể tích khối tứ diện
*
.

A.

*
B.
*
C.

Xem thêm: Dàn Ý Nghị Luận Về Tuổi Trẻ Là Tương Lai Của Đất Nước Siêu Hay

*
D.
*

Lời giải:

Ta có

*

Do M là trung điểm của SA nên

*

-->