Toán 10: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Cho nhị véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$ đều khác $ vec0$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là 1 số, được khẳng định bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, ví như $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách xác định góc giữa hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong phương diện phẳng.

Bạn đang xem: Tích hai vecto vuông góc

Hai véc-tơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô vị trí hướng của chúng bởi $0$.

Tích vô hướng đó là công trong đồ gia dụng lý. Cho 1 lực gồm độ bự $F$ ảnh hưởng tác động lên vật làm vật dịch chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ phù hợp với hướng chuyển động $OO’$ một góc là $phi$ thì công cơ mà lực $F$ sinh ra gồm độ phệ là $$A=F.s.cosphi.$$

*

1.2. đặc điểm của tích vô hướng

Với bố véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ bất kỳ và một trong những thực $ k$, ta luôn có

$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính chất giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính hóa học phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cùng với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ mang lại hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ với $ vecb=(x’;y’)$ thì ta gồm $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ khi còn chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô phía 2 vecto

Độ nhiều năm của $ veca(x;y)$ được tính bởi bí quyết $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc giữa hai vectơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ bao gồm $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecbveca=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng biện pháp giữa nhị điểm $ A(x_A;y_A)$ với $ B(x_B;y_B)$ được xem bởi bí quyết $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Công thức hình chiếu

Nếu nhị điểm $ A’,B’ $ thứu tự là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ xuất xứ thẳng $ CD, $ thì ta luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, nếu như hai điểm $ C’,D’ $ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ khởi thủy thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Những dạng toán tích vô vị trí hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bởi định nghĩa

Ví dụ 1. đến tam giác $ABC$ đều, cạnh bởi $ a $ và con đường cao $ AH $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. đến tam giác phần nhiều $ ABC $ bao gồm cạnh bằng $ 3a. $ lấy hai điểm $ M,N $ trực thuộc đoạn $ AC $ làm thế nào để cho $ AM=MN=NC $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.

Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô phía còn lại, ta phân tích các véctơ áp dụng quy tắc ba điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào những tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính những tích vô hướng ta thông thường có hai hướng, tính trực tiếp bởi định nghĩa, hoặc đối chiếu thành các véctơ bao gồm mối contact đặc biệt cùng nhau (vuông góc, thuộc hướng hoặc ngược hướng với nhau). Hãy xem lấy ví dụ sau nhằm rõ hơn về phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ có $ M, N $ thứu tự là trung điểm của $ BC $ và $ CD $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.

Ta tất cả $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng đều có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ với $ M $ là một điểm nằm trên phố tròn nước ngoài tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. mang lại hai điểm $ A,B $ cố định và thắt chặt và $ k $ là hằng số. Tìm tập hợp các điểm $ M $ vừa lòng $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. hotline $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign vì đó, $ MI^2=k+IA^2 $, yêu cầu có những khả năng:

Nếu $ k+IA^2 nếu $ k+IA^2=0 $, tập phù hợp điểm $ M $ là vấn đề $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập đúng theo điểm $ M $ là một trong những đường tròn trọng điểm $ I, $ bán kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy thuộc vào số $ k $ nhưng mà tập hòa hợp điểm $ M $ là những tập khác nhau như trên.

Ví dụ 6. mang lại hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, gọi $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ căn nguyên thẳng $ OA $. Chứng tỏ rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

Hai điểm $A$ cùng $ B’ $ nằm tại cùng ở một bên so cùng với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ với $ B’ $ nằm hai phía so với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, vào cả hai trường hợp, ta đều có $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Ví dụ 7. mang đến đường tròn trung ương $ I, $ bán kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một mặt đường thẳng qua $ M $ cắt đường tròn tại hai điểm $ A,B $. Minh chứng rằng cực hiếm của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ ko đổi.

Hướng dẫn. Kẻ đường kính $ BB’ $ thì ta gồm $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng bí quyết hình chiếu trong lấy một ví dụ trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign nhưng $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, đề xuất suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đấy là một đại lượng không đổi.

Ví dụ 8. cho tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ và $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài tía cạnh của tam giác.

Hướng dẫn. Ta có $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên đường thẳng $ AB $, vì đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tựa như có $ AC=3, $ và thực hiện Pytago được $ BC=sqrt13. $

Ví dụ 9. mang lại hình thang vuông $ ABCD $, đường cao $ AB = 2a $, đáy phệ $ BC = 3a $, đáy bé dại $ AD = a $.

Tính những tích vô hướng $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. thực hiện công thức hình chiếu hoặc so với theo nhị véctơ vuông góc với nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ với điểm $ M $ trực thuộc cạnh $ AB $ làm sao để cho $ AM=fraca3. $ Tính cực hiếm lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Minh chứng đẳng thức bởi tích vô hướng

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ABC$ có trọng tâm $ G $ và $ M $ là 1 trong điểm nằm trên tuyến đường thẳng đi qua $ G $ đôi khi vuông góc với $ BC. $ chứng tỏ rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta bao gồm $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ vai trung phong là $ O $, cạnh bởi $ a $. Chứng minh rằng với đa số điểm $ M $ ta luôn luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ có tác dụng tương tự đối với $ MB,MC,MD $ và cộng từng vế các đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign bởi vì $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Minh chứng hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. chứng minh rằng với tứ điểm rõ ràng $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn luôn có, $ AB $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng phương pháp $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi và chỉ khi hai đường thẳng $ AB $ với $ CD $ vuông góc cùng với nhau.

Chú ý rằng, ở bước thứ ba, ta không được “chia” nhì vế cho $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ cùng với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ với tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong phương diện phẳng tọa độ cho hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ tìm tọa độ điểm $M$ trực thuộc trục $ Ox $ làm sao để cho tam giác $ MAB $ vuông tại $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong phương diện phẳng tọa độ mang lại tam giác $ABC$ bao gồm $A(1;2),B(5;3)$ cùng $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo những góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, trung khu đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. mang đến tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ với $ G(2/3,0) $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Tìm tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì do $ M $ là trung điểm $ BC $ phải $ C(2-x_B,-2-y_B) $ vì thế tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, gồm tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại $A$ khi và chỉ còn khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này tìm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ từ đó tìm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong khía cạnh phẳng toạ độ $ Oxy, $ mang lại tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ với $ m e 0 $. Tìm kiếm tọa độ trung tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Xác định $ m $ nhằm tam giác $ GAB $ vuông tại $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ search tọa độ trực chổ chính giữa và chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực trọng điểm tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này kiếm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta có $ I $ là trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ còn khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này kiếm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. cho tứ giác $ABCD$ có $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích s được tính bởi công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài tập tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ và $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. cho tam giác $ABC$ gồm $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ với $AB=a$. Tính các tích vô hướng $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ với $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân nặng tại A tất cả $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ cùng $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. đến tam giác $ABC$ các cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ với $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong mặt phẳng $ Oxy $ mang đến $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông trên $ A $.Tính độ dài những cạnh $AB,AC,BC$.

Bài 6. Tính góc thân hai vec tơ $overrightarrowa$ và $overrightarrowb$ trong số trường hợp sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ và $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ với $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ và $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông $ ABCD $. Hotline $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 8. đến hình thang vuông $ ABCD $ với mặt đường cao $ AD=h $ cùng hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ với $ b $ nhằm $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 9. chứng tỏ rằng với tứ điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra tía đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. đến tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn vai trung phong $ O $. Hotline $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Minh chứng rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 12. mang đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ cùng với $ O $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ cùng $ E $ là trọng tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 13. mang lại tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung ương $ O $ với một điểm $ H $. Minh chứng rằng $ H $ là trực trọng điểm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. mang đến tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Hotline $ H,K $ khớp ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Call $ I,J $ khớp ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 15. cho tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Call $ E,F $ theo lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 16. đến góc vuông $ xSy $ và mặt đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ trên $ A,B $ với $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến đường vẽ từ bỏ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 17. Trong mặt phẳng $ Oxy $ mang đến hai điểm $A(2;4)$ với $B(1;1)$. Kiếm tìm tọa độ điểm $ C $ làm thế nào cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $ B $.

Bài 18. mang đến tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm tâm và bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong mặt phẳng $Oxy$ mang lại 4 điểm $A,B,C,D$ cùng với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ với $D(0;-2)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong phương diện phẳng $Oxy$ mang lại 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Chứng tỏ rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông $ ABCD $. điện thoại tư vấn $ M,N $ theo thứ tự là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng tỏ rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với mặt đường cao $ AD=h $ cùng hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ và $ b $ để $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 23. đến tam giác $ABC$. Với điểm $ M $ tùy ý, chứng tỏ rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. đến $ O $ là trung điểm của đoạn trực tiếp $ AB $ với $ M $ là một trong những điểm tùy ý. Chứng minh rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. mang lại tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến là $ AD, BE, CF $. Chứng tỏ rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. mang lại hình chữ nhật $ ABCD $ bao gồm $AB=a$ cùng $AD=asqrt2$. Hotline $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Minh chứng $BKperp AC$.

Bài 27. đến tam giác $ABC$ cân tại $ A $. Gọi $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Chứng minh $AMperp BD$.

Bài 28. cho tam giác $ABC$. Gọi $ H $ là trực tâm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. mang đến tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cánh $ AC $ cùng $ BD $ vuông góc cùng nhau và cắt nhau trên $ M $. Hotline $ phường $ là trung điểm của $ AD $. Chứng minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. minh chứng rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ ngẫu nhiên ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > tự đó minh chứng ba đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. mang lại tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân nặng tại $ A $. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng tỏ rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 32. mang lại tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung khu $ O $. Call $ BH,CK $ là những đường cao của tam giác. Minh chứng rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 33. cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ với $ O $ là trọng tâm đường tròn nước ngoài tiếp. Hotline $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Chứng minh rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 34. cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn trọng tâm $ O $ và một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực chổ chính giữa của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. cho tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Call $ H,K $ tương ứng là trực tâm của những tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ khớp ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 36. mang đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. điện thoại tư vấn $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng tỏ rằng $ IE $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 37. đến góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ trên $ A,B $ và $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng tỏ rằng trung con đường vẽ từ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 38. mang đến tam giác không cân $ ABC $. Hỏi tam giác này phải thỏa mãn nhu cầu điều kiện gì để đường thẳng Euler của chính nó vuông góc cùng với trung đường qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm những cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường trực tiếp vuông góc cùng với cạnh đối diện. Chứng tỏ rằng ví như ba trong số các con đường đó đồng quy thì cả tư đường thẳng đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: Lịch Thi Đấu Cúp C1 2021/22: Rực Lửa Vòng Knock, Lịch Thi Đấu Cúp C1 Đêm Nay Và Ngày Mai

Trong khía cạnh phẳng mang lại $ n $ điểm tách biệt $ A_1,A_2,…,A_n $, và $ n $ số thực khác không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ sao cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Chứng minh rằng $ n leqslant 4 $ và nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.