Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) khẳng định trên

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì giới hạn này call là tích phân suy rộng của f(x) bên trên
Bạn đang xem: Tích phân suy rộng

Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

*
là quy tụ (integral is convergent)

Nếu số lượng giới hạn này là cực kỳ hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(do

*
)

Vậy: I hội tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Khi đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy một ví dụ trên ta tất cả chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn chỉnh hội tụ, trường thích hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý đối chiếu 1:

Giả sử f(x) cùng g(x) ko âm cùng khả tích trên , với f(x) ≤ g(x) ở kề bên +∞ ( có nghĩa là x đầy đủ lớn). Khi đó:

Nếu
*
hội tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

1.4.2 Định lý đối chiếu 2:

Giả sử f(x) cùng g(x) không âm và cùng khả tích bên trên , và f(x) ≤ g(x) ở ở kề bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự quy tụ của tích phân

*
, ta đề nghị xây dựng hàm g(x) sao cho
*
. Nghĩa là, f(x) với g(x) là nhì lượng tương đương.

Muốn vậy, ta đề nghị nhận diện và sửa chữa thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) gồm trong f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả nhì hàm f(x) với g(x) cần cùng khả tích bên trên

1.5 những ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định và tiếp tục với đông đảo x trực thuộc
*
.

Khi

*
: lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương tự tương ứng. Vì vậy, ta không sử dụng dấu hiệu đối chiếu 2.

Ta rất có thể dùng vệt hiệu so sánh 1. Ao ước vậy, buộc phải chặn hàm lnx. Ta tiện lợi có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã đến phân kỳ.( vày tích phân

*
phân kỳ).

Ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

để mắt tới hàm rước tích phân, ta thấy:

lúc

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) với g(x) thuộc khả tích trên <1;+∞) cần

*
cùng
*
cùng quy tụ hoặc thuộc phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) khẳng định và thường xuyên với những

*
, còn g(x) không khẳng định tại x = 0 nên ta không thể cần sử dụng dấu hiệu đối chiếu 2 được.

Khi đó, tách bóc I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– vị

*
x}1+x^2 " class="latex" /> khẳng định và tiếp tục trên <0;1> đề xuất
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân khẳng định nên hội tụ.

Xem thêm: Top 3 Mẫu Tả Cái Đồng Hồ Báo Thức Lớp 5 : Tả Đồng Hồ Báo Thức

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> bắt buộc hội tụ.