Bài viết phía dẫn phương thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cha đường cong, đấy là dạng toán thường chạm chán trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ dùng thị.+ Chia diện tích s hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ đồ vật thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ gia dụng thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: gọi $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị bố hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 dx $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 dx $ $ + int_3^6 frac54x – fracx^24 ight $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng trở thành trên $R$ cùng $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 dx $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 5: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 6: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và những tiếp con đường của $(P)$ tại những giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp tuyến đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 x^2 – x – 2 – ( – 3x – 3) ight $ $ + int_frac12^2 x^2 – x – 2 – (3x – 6) ight .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ và $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích s là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 8: call $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ khẳng định nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn lời giải C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, con đường thẳng $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ và trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ và $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ xác minh nào sau đây là đúng?A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$B. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$C. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$D. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 x^2 – 0 ight $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn lời giải D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn đáp án C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn câu trả lời A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$Chọn đáp án A.

Xem thêm: Nụ Tam Thất Có Tác Dụng Nụ Hoa Tam Thất Có Tác Dụng Gì? Hoa Tam Thất Có Tác Dụng Gì

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 dx = frac83.$Chọn giải đáp A.