Bạn đang xem bản rút gọn gàng của tài liệu. Coi và thiết lập ngay bản đầy đủ của tài liệu tại trên đây (717.9 KB, 103 trang )




Bạn đang xem: Tính diện tích mặt cong

§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 10 : Tính diện tích phần mặtS2 : x2+y2+z2 = 42z= x +ynằm trên mặt nónĐể tính diện tích mặt cong S dựa vào tích phân kép, taphải xác định được hình chiếu D của phương diện congxuống một trong những 3 khía cạnh tọa độ.Với ví dụ như này, ta vẫn tìm hình chiếu của S xuống mặtz=0 bằng phương pháp khử z từ bỏ 2 phương trình vẫn choz2 = 4-x2-y2 = x2+y2 ↔ x2+y2 = 2Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của Sxuống phương diện z = 0 là hình tròn Dxy : x2+y2 ≤ 2Sau đó, vì chưng tìm hình chiếu xuống mặt z = 0 buộc phải ta sẽtính z=f(x,y) trường đoản cú phương trình khía cạnh S §1: Tích phân kép – Ứng dụngVì khía cạnh S nằm trên mặt nón có nghĩa là z ≥ 0 buộc phải ta lấy−x ′ zx =224−x−yz = 4 − x 2 − y 2 ⇒ −y z′ =22 y4−x−y222′′Suy ra :1 + z x + zy =4 − x2 − y 2S=2∫∫24−x −yx 2 + y 2 ≤22π04−r222dxdy = ∫ dϕ ∫ r22 −d (4 − r 2 )S = ∫ dϕ ∫02π0Vậy:4−r20dr2= 2π ( −2 4 − r 2 )0= 4p(2 -2) §1: Tích phân kép – Ứng dụng222Ví dụ 11:Tính diện tích s phần mặt mong S x + y + z = 13Nằm thân 2 phương diện phẳng z = y , z =y ,( z ≥ 0, y ≥ 0)32 phương diện phẳng đã mang lại đều tuy nhiên song cùng với trục Ox (Ptkhơng cất x) cần ta đang tìm hình chiếu của S xuốngmặt phẳng x = 0zChiếu 2 phương diện phẳng xuống khía cạnh x = 0ta được 2 mặt đường thẳng thuộc đi quagốc tọa độ tức là chưa xuất hiện miềnđóng D.Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hìnhchiếu của mặt cầu xuống mặtphẳng x = 0 là hình trònOy §1: Tích phân kép – Ứng dụngMặt mong và cả 2mặt phẳng giảm nóđều nhấn mặt x = 0là mặt đối xứngnên phần phương diện Scũng thừa nhận x = 0 làmặt đối xứngMiền D bên trên mp x=0x2+y2+z2=2Do đó, ta vẫn tínhdiện tích phầnphía trên mặt x = 0rồi nhân đơiTa viết lại phương trình khía cạnh S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0 §1: Tích phân kép – Ứng dụngx=−y ′ xy =221−y−z22 ⇒1− y − z−z x′ =22 z1−y−z22⇒ 1 + x y′ + xz′ =VậyS = 2∫∫D121− y − z121− y − z2π31101− r 2dydz = 2 ∫ dϕ ∫ r2π4dr §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích phần khía cạnh trụ S: x2+y2=4nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4Ta đang chiếu phần mặt Sxuống khía cạnh phẳng y = 0 vìhình trụ R tuy nhiên song vớitrục Oy, và được hình trònx2+z2=4 (R)x 2 + z2 ≤ 4Do tính đối xứng qua cácmặt tọa độ của cả 2 mặt trụnên ta chỉ tính diện tích s mộtphần tám phương diện S, nằm tronggóc x≥0, y ≥0, z ≥0x2+y2=4 (S) §1: Tích phân kép – Ứng dụngKhi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ phương trình phương diện S.y = 4 − x2−x ′222y=′′⇒ 1+ y x + yz = x2⇒4−x4 − x2y ′ = 0 zVậy, diện tích s cần tính làV = 8 ∫∫2D4−x21= 16 ∫04−x24− x 200dxdy = 8 ∫ dx ∫22( z )04− x 224 − x22dzdx = 16 ∫ dx = 320 §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích s phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắtbởi 4 phương diện x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -14 khía cạnh phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùngsong tuy vậy với trục Oz, sinh sản trong khơng gian 1 hình trụkín tất cả hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vng ABCDMặt nón thừa nhận mặt phẳngOxy là khía cạnh đối xứng nênphần nón bên trong trụ kíntrên cũng nhận Oxy là mặtđối xứng, ta tính diện tíchphía trên mp Oxy rồi nhânđơiBCAD §1: Tích phân kép – Ứng dụngz = x2 + y 2x ′ zx =22x+y⇒y z′ =22 yx+y⇒ 1 + z′x 2 + zy′ 2 = 2Khi đó, hàm dưới dấu tích phân bằng hằng sốnên tích phân đề nghị tính là diện tích s miền đem tíchphân nhân với hằng số.Vậy S = 2.2. √2 §1: Tích phân kép – Ứng dụngy+x=-1z2=x2+y2, z≥0-y+x=1y+x=1y-x=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 13 : cho vật thể Ω giới hạn bởi y=x2, x=y2, z=0,z=y2. Tính1. Diện tích s phần mặt phẳng z=0 bên trong Ω2.

Xem thêm: Trò Chơi Phổ Biến Về Hình Tượng Trưng Của Google Còn Ông Vàng

Thể tích Ω3. Diện tích phần mặt trụ z = y2 phía bên trong ΩTrong 4 mặt chế tác thành Ω,có 2 khía cạnh cùng tuy nhiên songvới trục Oz là y=x2 với x=y2Từ kia ta được hình chiếucủa Ω xuống khía cạnh z = 0 làmiền DD