Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

*
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số
*
tại
*
được kí hiệu là y"(x0) hoặc f"(x0), tức là
*
.

Bạn đang xem: Toán 11 định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chú ý:


- Số gia đối số là:
*

- Số gia tương ứng của hàm số là:
*
, lúc đó
*
.
Đạo hàm phía bên trái của hàm số
*
tại điểm
*
, kí hiệu là
*
được quan niệm là:

*

trong đó

*
được đọc là
*
và
*
, kí hiệu làđược tư tưởng là:

*

trong đóđược đọc làvà.

Nhận xét:Hàm

*
có đạo hàm tại
*
và
*
đồng thời
*
.

3. Đạo hàm trên một khoảng

*
Hàm số
*
có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên
*
nếu nó bao gồm đạo hàm tại phần nhiều điểm thuộc
*
.

*
Hàm số
*
có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên
*
!! ext " />nếu nó bao gồm đạo hàm tại phần đa điểm thuộc
*
đồng thời sống thọ đạo hàm trái
*
và đạo hàm phải
*
.

4. Quan hệ nam nữ giữa sự mãi mãi của đạo hàm và tính liên tiếp của hàm số

Định lí: trường hợp hàm số

*
có đạo hàm tại
*
thì
*
liên tục tại
*
.

Chú ý:Định lí bên trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm hoàn toàn có thể liên tục tại điểm

*
nhưng hàm đó không tồn tại đạo hàm tại
*
.

Chẳng hạn: Xét hàm

*
liên tục tại
*
nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì

*
, còn
*
.

5. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học:
Tiếp tuyến đường của mặt đường cong phẳng:

Cho con đường cong phẳng

*
và một điểm rứa định
*
trên
*
, M là vấn đề di hễ trên
*
. Khi đó
*
là một cát tuyến của
*
.

Định nghĩa:Nếu mèo tuyến

*
có địa chỉ giới hạn
*
khi điểm
*
di đưa trên
*
và dần tới điểm
*
thì đường thẳng
*
được call là tiếp tuyến đường của đường cong
*
tại điểm
*
. Điểm
*
được gọi là tiếp điểm.


Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm:

Cho hàm số

*
xác định trên khoảng
*
và gồm đạo hàm tại
*
, gọi
*
là vật dụng thị hàm số đó.

Định lí 1:Đạo hàmcủa hàm số

*
tại điểm
*
là thông số góc của tiếp tuyến
*
của
*
tại điểm
*


Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2:Phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị

*
của hàm số
*
tại điểm
*
là:

*

b) Ý nghĩa đồ dùng lí:

Vận tốc tức thời:Xét hoạt động thẳng khẳng định bởi phương trình:

*
, với
*
là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của hóa học điểm trên thời điểm
*
là đạo hàm của hàm số
*
tại
*
.


Cường độ tức thời:Điện lượng

*
truyền vào dây dẫn xác minh bởi phương trình:
*
, với
*
là hàm số gồm đạo hàm. Lúc đó, độ mạnh tức thời của cái điện tại thời điểm t0là đạo hàm của hàm số
*
tại
*
.

*

B. Bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp

*
*

*
*

*
*

*
Hàm số
*
có đạo hàm tại điểm
*

*
Hàm số
*
có đạo hàm trên điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Tính đạo hàm của những hàm số sau tại các điểm sẽ chỉ ra:

1.

*
tại
*
2.
*
tại
*

3.

*
tại
*

Lời giải:

1. Ta có

*
*
.

2.Ta bao gồm :

*

*
.

3. Ta có

*
, do đó:

*

Vậy

*
.

Ví dụ 1.2:Chứng minh rằng hàm số

*
liên tục tại
*
nhưng không có đạo hàm trên điểm đó.

Lời giải:

Vì hàm

*
xác định tại
*
nên nó liên tiếp tại đó.

Ta có:

*

*

*
không có đạo hàm tại
*
.

Ví dụ 1.3:Tìm

*
để hàm số
*
có đạo hàm tại
*

Lời giải:

Để hàm số tất cả đạo hàm tại

*
thì trước hết
*
phải tiếp tục tại
*

Hay

*
.

Khi đó, ta có:

*
.

Vậy

*
là giá bán trị đề nghị tìm.

Dạng 2.Tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):

*
tại tiếp điểm M
*
có dạng:

Áp dụng trong các trường hợp sau:

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Cho hàm số

*
có đồ vật thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1.Tại điểm

*
; 2.Tại điểm gồm hoành độ bằng 2;

3.Tại điểm gồm tung độ bằng 1; 4.Tại giao điểm (C) với trục tung;

Lời giải:

Hàm số đã đến xác định

*
.

Ta có:

*

1.Phương trình tiếp tuyến

*
tại
*
có phương trình:
*

Ta có:

*
, khi đó phương trình
*
là:
*

2.Thay

*
vào vật thị của (C) ta được
*
.

Tương từ bỏ câu1,phương trình

*
là:
*

3.Thay

*
vào đồ gia dụng thị của (C) ta được
*
hoặc
*
.

Tương trường đoản cú câu1,phương trình

*
là:
*
,
*

4.Trục tung Oy:

*
.Tương từ bỏ câu1,phương trình
*
là:
*


Ví dụ 1.2:Cho hàm số

*
(1),mlà thông số thực. Tìm những giá trị củamđể tiếp tuyến đường của vật dụng thị của hàm số (1) trên điểm có hoành độ
*
đi qua điểm
*
.


Lời giải:

Tập xác định

*

*

Với

*

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

*

Ta có

*


Ví dụ 1.3:Cho hàm số

*
(1). Tính diện tích của tam giác tạo nên bởi những trục tọa độ với tiếp con đường của trang bị thị của hàm số (1) trên điểm
*
.


Lời giải:

Tập xác định

*
. Có
*
.

Phương trình tiếp tuyến

*
tại điểm
*
:
*

GọiAlà giao điểm củadvà trục hoành

*
, vậy
*

GọiBlà giao điểm củadvà trục tung

*
, vậy
*

Ta gồm tam giácOABvuông tạiOnên

*
.

Nhận xét:Viết PTTT Δ của

*
, biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A cùng B sao để cho tam giác OAB vuông cân nặng hoặc có diện tích s S mang đến trước


+ Gọi
*
là tiếp điểm và tính thông số góc
*
theo
*
.
+
*
vuông cân
*
tạo với
*
một góc
*
và
*
(i)

*
(ii)


+ Giải (i) hoặc (ii)
*
x_0xrightarrow<>y_0;kxrightarrow<>" />phương trình tiếp con đường Δ.

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của

*
, biết Δ có thông số góc k mang lại trước

– Gọi

*
là tiếp điểm. Tính
*

– vị phương trình tiếp đường Δ có hệ số góc k

*
(i)

– Giải (i) search được

*
y_0=fleft( x_0 ight)xrightarrow<>Delta :y=kleft( x-x_0 ight)+y_0" />

Lưu ý:Hệ số góc

*
của tiếp đường Δ thường đến gián tiếp như sau:

– Phương trình tiếp tuyến

*

– Phương trình tiếp tuyến

*

– Phương trình tiếp đường Δ sản xuất với trục hoành góc

*

– Phương trình tiếp tuyến đường Δ sinh sản với

*
góc
*
.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho con đường cong

*
.

a). Viết phương trình tiếp con đường của

*
biết tiếp tuyến tuy nhiên song với đường thẳng
*

b). Viết phương trình tiếp tuyến đường của

*
biết tiếp tuyến tuy vậy song với đường thẳng
*

c). Viết phương trình tiếp tuyến đường của

*
biết tiếp tuyến chế tạo với mặt đường thẳng:
*
một góc 30°.


Lời giải:

Tập xác định

*
. Ta có:
*

a). Có

*

Vì tiếp tuyến tuy nhiên song vớidnên

*

Gọi

*
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
*

*

Với

*
, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:
*

*
(loại, vì trùng vớid)

Với

*
, phương trình tiếp con đường tại điểm đó là:
*

*
.

b).

*

Vì tiếp đường vuông góc cùng với Δ nên

*

Gọi

*
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
*

*
.

Với

*
, phương trình tiếp tuyến đường tại đặc điểm này là
*

*

Với

*
, phương trình tiếp tuyến đường tại đặc điểm đó là
*

*
.

c).

*

Ta bao gồm tiếp con đường hợp vớidmột góc 30°, đề xuất có

*

*
*


Ví dụ 2:Gọi

*
là đồ gia dụng thị của hàm số
*
(*) (m là tham số).

GọiMlà điểm thuộc

*
có hoành độ bằng
*
. Tìmmđể tiếp đường của
*
tại điểmMsong tuy vậy với đường thẳng
*
.


Lời giải:

Tập xác định

*
. Ta có
*

Điểm thuộc

*
có hoành độ
*
là
*

Phương trình tiếp tuyến đường của

*
tạiMlà:

*

Để Δ tuy vậy song với

*
khi còn chỉ khi:
*

Kết luận

*
.


Ví dụ 3:Cho hàm số

*
. Trong toàn bộ các tiếp tuyến đường của đồ vật thị
*
, hãy kiếm tìm tiếp con đường có thông số góc bé dại nhất.


Lời giải:

Ta có

*

Gọi

*
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy
*

Ta có

*
*

Vậy

*
tại
*

Suy ra phương trình tiếp tuyến bắt buộc tìm:

*


Ví dụ 4:Cho hàm số

*
(1). Viết phương trình tiếp con đường của vật dụng thị hàm số (1), biết tiếp con đường đó cắt trục hoành, trục tung theo thứ tự tại nhì điểm rõ ràng A, B cùng tam giác OAB cân nặng tại cội tọa độ O.


Lời giải:

Tập xác định

*
. Ta có
*

Vì tiếp con đường (d) giảm hai trục Ox, Oy theo lần lượt tại A, B chế tạo thành tam giác OAB vuông cân, phải đường thẳng (d) phù hợp với trục Ox một góc 45°.

Vậy có

*

Gọi

*
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
*

Với

*
(phương trình vô nghiệm)

Với

*
*

Với

*
, phương trình tiếp con đường tại điểm này
*
. Tiếp con đường này loại vị đường trực tiếp này trải qua gốc tọa độ buộc phải không sản xuất thành được tam giác.

Với

*
, phương trình tiếp tuyến đường tại điểm này
*

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp đường đi sang một điểm

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của

*
, biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm
*

– Gọi

*
là tiếp điểm. Tính
*
và
*
theo
*
.

Xem thêm: Giải Bt Sgk Văn 8 Tất Cả Các Bài, Ngữ Văn 8, Tổng Hợp Văn Mẫu Hay Nhất

– Phương trình tiếp con đường Δ tại

*
là
*

– Do

*
(i)

– Giải phương trình (i)

*
x_0xrightarrow<>y_0" />và
*
" />phương trình Δ.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho con đường cong

*
. Viết phương trình tiếp con đường của
*
biết tiếp tuyến trải qua điểm
*

Lời giải:

Gọi

*
là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyếndđi qua điểmA

Vì điểm

*
, và
*

Phương trìnhd:

*

Vì

*
nên
*

*

Với

*
, phương trình tiếp tuyến
*

Với

-->