Gọi G và G" lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A"B"C" cho trước.
Bạn đang xem: Toán hình nâng cao lớp 7
Chứng minh rằng : GG"
Câu 4:
Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia
AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK \<\le \> BC
thẳng DE
Câu 6:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Câu 7:
Cho tam giác vuông ABC: \<\widehat{A}={{90}^{0}}\>, đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC.
Câu 8:
Cho tam giác ABC nhọn có đường phân gác trong AD. Chứng minh rằng:
$AD=\frac{2.AB.AC.\cos \frac{A}{2}}{AB+AC}$
Câu 12:
Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 600, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.
Câu 13:
Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A", B", C" là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).
Câu 14:
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.
Câu 15:
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Lời giải chi tiết
Câu 2:
Gọi M,M",I,I" theo thứ tự trung điểm BC;B"C";AG;A"G" . Ta có:
Vậy
Câu 4:
Để cm BE = CD$\Uparrow $
Cần cm \<\Delta \>ABE = \<\Delta \>ADC (c.g.c)
$\Uparrow $
Cần cm \<\widehat{BAN}=\widehat{BAM}={{180}^{0}}\>
$\Uparrow $
Có \<\widehat{BAN}+\widehat{NAD}={{180}^{0}}\> $\Rightarrow $ Cần cm \<\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\>
Để cm \<\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\>
$\Uparrow $
Cần cm \<\Delta \>ABM = \<\Delta \>ADN (c.g.c)
Gọi là giao điểm của BC và Ax$\Rightarrow $ Để cm BH + CK \<\le \> BC
$\Uparrow $
Cần cm \
Vì BI + IC = BC
BH + CK có giá trị lớn nhất = BCkhi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC
Câu 6:
a) Để cm DM = EN
$\Uparrow$
Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
$\Uparrow$
Có BD = CE (gt) , $\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}}$ ( MD, NE$\bot$BC)
$\widehat{BCA}=\widehat{CBA}$( ∆ABC cân tại A)
Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trungđiểm I của MN $\Rightarrow$ Cần cm IM = IN
$\Uparrow$
Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I $\Rightarrow$ Cần cm O là điểm cố địnhĐể cm O là điểm cố định
$\Uparrow$
Cần cm OC $\bot$ AC
$\Uparrow$
Cần cm $\widehat{OAC}=\widehat{OCN}={{90}^{0}}$
$\Uparrow$
Cần cm : $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}$ và $\widehat{OBM}=\widehat{OCM}$
$\Uparrow$
Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
Câu 7:
Cho tam giác vuông ABC: \<\widehat{A}={{90}^{0}}\>, đường cao AH, trung tuyến AM.
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.
Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song
với AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC.
a) Ta có : \<\Delta AMB=\Delta DMC(c-g-c)\>
\<\Rightarrow AB=DC\>
Suy ra \<\Delta ABC=\Delta CDA(c-c-c)\>
Mặt khác : \<\Delta ACI:\widehat{ACI}={{90}^{0}};AC=CI\>: vuông cân
\<\Delta \text{ACJ}=\Delta \text{ICJ}\>( CH -CGV)
\<\Rightarrow \widehat{\text{ACJ}}=\widehat{\text{ICJ}}\> hay CJ là phân giác của \<\widehat{ACI}\> hay \<\Delta \text{ACJ}\> vuông cân tại J.
Nên AJ = AC
Câu 8:
SABD+SACD=SABC
Câu 12:
Xét các tam giác bằng nhau
* Chứng minh AN = MC = BP
Xét hai tam giác ABN và MBC có:
AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)
\<\widehat{ABN}=\widehat{MBC}\> ( cùng bằng \<{{60}^{0}}+\widehat{ABC}\> )
Tương tự:
AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)
⇒ BP = MC (**)
Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).
* Chứng minh
Trong ∆APC có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{A}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}={{180}^{0}}$ mà ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}={{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}$
Trong ∆PCK có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$
⇒ ${{60}^{0}}+({{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}})+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$ ⇒ \<{{60}^{0}}+{{60}^{0}}+\widehat{{{K}_{2}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}}\> (1)
Tương tự: ∆ ABN = ∆ MBC ⇒ \<\widehat{{{N}_{1}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\> mà \<\widehat{{{N}_{1}}}+\widehat{{{N}_{2}}}={{60}^{0}}\>
⇒ \<\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{60}^{0}}\> mà \<\widehat{{{C}_{4}}}={{60}^{0}}\>
⇒ ∆ NKC có \<\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}+\widehat{{{C}_{4}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\> ⇒ \<\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}}\> (2)
Tương tự: ∆ AC N = ∆ PCB ⇒ \<\widehat{{{P}_{2}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\> mà \<\widehat{{{P}_{1}}}+{{\widehat{P}}_{2}}={{60}^{0}}\>
⇒ \<\widehat{{{P}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}={{60}^{0}}\> mà \<\widehat{{{A}_{1}}}={{60}^{0}}\> ⇒ Trong ∆ AKP có \<\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\> (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
* Chứng minh AN. MC, BP đồng quy
Giả sử MC Ç BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng
Theo chứng minh trên ta có: \<\widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{{{K}_{2}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\>
⇒ A,K,N thẳng hàng \<\>
Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)
Câu 13:
Gọi I là giao của d1 và d2
Chứng minh tứ giác A"B"C"I là tứ giác nội tiếp. Suy ra A"B"C"I là nội tiếp (O).
Chứng minh I thuộc d3.
Xem thêm: Đặt Và Trả Lời Câu Hỏi Vì Sao Lớp 2, Please Wait
Câu 14:
Chứng minh PEDQ, PRDF là hình chữ nhật ⇒ PD, QE, RF là đường chéo của 2 hình chữ nhật đó Þ đpcm.