ĐỊNH NGHĨA VỀ CẤP SỐ NHÂN

Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn). Vào đó tính từ lúc số hạng sản phẩm 2, mỗi số hạn phần đa là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cung cấp số nhân




Bạn đang xem: Tổng cấp số nhân

Công bội q

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân ta có công thức công bội

*

Ví dụ cho cấp số nhân (un) bao gồm u1 = 2 , u2 = 4. Tính công bội q

Áp dụng cách làm công bội q ta có

*

Nếu (un) là cung cấp số nhân cùng với công bội q, ta gồm un +1 = un.q, với tất cả số nguyên dương n.

Tính chất của cung cấp số nhân

Định lí 1: giả dụ (un) là một trong cấp số nhân thì kể từ số hạng trang bị hai, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bởi tích của hai số hạng đứng kề nó vào dãy, tức là

u2k = uk-1 . Uk+1

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) cùng với công thoa q > 0. Biết u1 = 1, u3 = 3. Hãy kiếm tìm u4

Giải:

Theo đính lý 1 ta có

u22 = u1.u3

u32 = u2.u4

Từ (1) bởi vì u2 > 0 ( vày u1 = 1 >0 với q > 0)

*

 Từ đây và (2) ta được

*

SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Số hạng bao quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân bao gồm số hạng đầu (un) cùng công bội q thì số hạng tổng thể (un) sẽ được tính vày công thức:

un = u1. Qn-1

Ví dụ: Cho cấp số nhân un cùng với u1 = 3, q = -1/2. Tìm kiếm u7

Giải:

un = u1.qn-1 suy ra u7 = u1.q7-1 = 3 . (-1/2)6 = (3/64)

Tìm tổng n số hạng trước tiên của một cấp số nhân

Giả sử tất cả cấp số nhân (un) cùng với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n call sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Ta co bí quyết sau

*

Nếu q = 1 thì cấp cho số nhân là sn = n.u1

Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp cho số nhân lùi vô hạn (un) có công bội là q. Lúc ấy ta gồm tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn s bằng:

*

Ví dụ minh họa

Cho bố số a, b, c lập thành một cấp cho số nhân. Chứng tỏ rằng (a2 + b2) . (b2 + c2) = (ab + bc)2

Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân ta được ac = b2

Khi: (a2 + b2) . (b2 + c2) = a2b2 + a2c2 + b4 + b2c2 = a2b2 + acb2 + b2c2 = a2b2 + 2ab2c + b2c2 = (ab + bc)2

Như vậy (a2 + b2) . (b2 + c2) = (ab + bc)2

Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân S = 2 + 6 + 18 + … + 13122

Giải:

Xét cấp số nhân (un) gồm u1 = 2 cùng công bội q = 3

Ta có :

13122 = un = unqn-1 = 2.3n-1 => n = 9

Như vậy suy ra

*

Ví dụ 3: kiếm tìm x để tía số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp cho số nhân

Giải:

Để 3 x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cung cấp số nhân điều kiện sẽ là

( x – 4 )2 = ( x – 2 ) ( x +2 ) => 8x = trăng tròn => x = 5/2

Vậy x = 5/2 là số buộc phải tìm để ba số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cung cấp số nhân

BÀI TẬP RÈN LUYỆN VỀ CẤP SỐ NHÂN

Bài tập 1: chứng minh các hàng số sau là những cấp số nhân

*

Giải:

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra hàng số bên trên là cấp số nhân gồm công bội q = 2

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra (un) là cung cấp số nhân có công bội q = ½

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra (un) là cấp số nhân bao gồm công bội q = -½

Bài tập 2: Cho cung cấp số nhân (un) với công bội q

a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Kiếm tìm q

b) Biết q = 2/3, u4 = 8/21. Tìm u1

c) Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thiết bị mấy ?

Giải:

Áp dụng bí quyết un = u1. Qn-1

a) Theo công thức un = u1. Qn-1 ta có: u6 = u1.q5 => q5 = u6 / u1 = 486 / 2 = 243 => q = 3

b) Theo công thức un = u1. Qn-1 ta có: u4 = u1.q3 => u1 = u4 / q.3 = 8/21 . (3/2)2 = 9/7

c) Theo cách làm un = u1. Qn-1 ta có: 12 = 3. (-2)n-1 => (-2)n-1 = 64 => n-1 = 6 => n = 7 bởi thế 192 chính là số hạng đồ vật 7

Bài tập 3: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (un) gồm 5 số hạng biết:

a) u3 = 3 và u5 = 27

b) u4– u2 = 25 cùng u3 – u1 = 50

Giải:

Áp dụng bí quyết un = u1. Qn-1

a) Theo bí quyết un = u1.

Xem thêm: Ấp Lê Bát Xã Cửa Cạn Phú Quốc Kiên Giang, Xã Cửa Cạn, Huyện Phú Quốc, Tỉnh Kiên Giang

Qn-1 ta có

u3 = u1.q2 => 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 => 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : q.2 = (u1.q4) / (u1.q2) = 9 => q = 3 hoặc -3

Với q = 3 ta được u1 = 1/3, ta tất cả cấp số nhân là 1/3, 1, 3, 9, 27

Với q = -3 ta được u1 = 1/3, ta bao gồm cấp số nhân là 1/3, -1, 3, -9, 27

b) Theo bài bác cho ta có :

*

Thay (2) vào (1) ta được 50.q = 25 => q = ½

Từ (2) suy ra u1 = 50/(q2 – 1) = 50 / (1/4 – 1) = (-200 / 3)

Ta tất cả cấp số nhân :

*

Bài tập 4 : Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Giải :

Tổng của 5 số hạng đầu là 31 như vậy

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

=> u1q + u2q + u3q + u4q + u5q =31q

=> u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 31q (1)

Tổng của 5 số hạng sau là 62 như vậy

u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 62 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 31q = 62 => q = 2

Vì S5 = 31 = u1(1-25) / (1-2) => u1 = 1

Vậy ta được cấp cho số nhân : 1, 2, 4, 8, 16, 32

Bài tập 5: tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng số daancuar tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với tầm tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là từng nào ?